第一类曲线积分的计算方法 设平面光滑曲线弧L由参数方程 x=x(t) (≤t≤B) y=y(t) 给出,函数∫(x,y)在L上连续,则 f(r, y) f[x(t),y(Olx(t)+y(t)dt
第一类曲线积分的计算方法 设平面光滑曲线弧 L由参数方程 ( ) ( ) ( ) x x t t y y t α β ⎧ = ⎨ ≤ ≤ ⎩ = 给出，函数 f (x, y ) 在 L上连续，则 2 2 ( , ) [ ( ), ( ) ] ( ) ( ) . L f x y ds f x t y t x t y t d t β α = + ′ ′ ∫ ∫ ( 1 )
下面给出公式(1)推导过程。 设参数由a变至β时,L上的点M(x,y)依点4到点B。 在L上从A到B取点列 A=M。.M M= B 该点列对应于一列单调递增的参数值 t=B 由第一类曲线积分的定义 「,/(xy)ds=1m∑/(5,A
下面给出公式(1)推导过程。 设参数t由α 变至β 时，L上的点M(x, y)依点A到点B。 在L上从A到B取点列 0 1 , , , A = M M " M n = B 该点列对应于一列单调递增的参数值 0 1 . n α = t t < <"< t = β 由第一类曲线积分的定义 0 1 ( , ) lim ( , ) . n i i i L i f x y ds f s λ ξ η → = = ∑ ∆ ∫
4设点(,n对应于参数τ,即ξ=x(,n=y(c),因 2(t)+y2(t)d 由积分中值定理,得 As=√x2()+y2(r)s 其中,M1=1-1,1≤1≤1,则 B
设点(ξi, ηi)对应于参数τ，即ξi=x(τi), ηi=y(τi)，因 1 2 2 ( ) ( ) , i i t i t s x t y t dt − ∆ = ′ ′ + ∫ 由积分中值定理，得 2 2 ( ) ( ) , i i i i ∆s x = + ′ ′ τ τ y′ ′ ∆s 其中，∆ = t t i i − ti− − 1 1 , , ti ≤ τ i ≤ ti 则 x y o A B Mi-1 Mi
「,f(xy)ds=1im2/(n)△ imn∑x(x),y(x)小yx2(2)+y2(x)△1 imn∑/x()y()yx2(x)+y2(r)△1 而等式中的最后一式为函数 f1(y)0yx2()+y2( 在区间α,上的定积分。而由于被积函数连续,故
0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 ( , ) lim ( , ) lim [ ( ), ( )] ( ) ( ) lim [ ( ), ( )] ( ) ( ) n i i i L i n i i i i i i n i i i i i i f x y ds f s f x y x y t f x y x y t λ λ λ ξ η τ τ τ τ τ τ τ τ → = → = → = = ∆ = + ′ ′ ′ ′ ∆ = + ′ ′ ∆ ∫ ∑ ∑ ∑ 而等式中的最后一式为函数 2 2 f [ ( x t), y (t x )] ′ (t) + y′ (t) 在区间[α，β]上的定积分。而由于被积函数连续，故
积分存在,故 f(, y)ds f[x(t),y(t)Nx(t)+y(t)dt 特殊地,若曲线由方程 y(x)(a≤x≤b 给出,则相应的曲线积分为 f(x,y)ds=fIx, y(x)11+y2ds. (2)
积分存在，故 2 2 ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) . L f x y ds f x t y t x t y t dt β α = + ′ ′ ∫ ∫ 特殊地，若曲线由方程 y y = ( ) x a( ≤ ≤x b) 给出，则相应的曲线积分为 2 ( , ) [ , ( )] 1 . b L a f x y ds = + f x y x y′ ds ∫ ∫ ( 2 )