可积性iii)若二元函数f(x,y)在矩形域R(a≤x≤b,c≤y≤d)上连续，则 I(x) 和 J(y)在[a,b]和 [c,d] 可微,且[dxf(x,y)dy=dy, f(x, y)dx证记1,(u) =' dx,f(x, y)dy, I,(u) = [" dy], f(x, y)dxd(" I(x)dx = I(u)其中ue[a,b],则I;(u) =?dx Ja令H(u,y)= [" f(x,y)dx, 则 I,(u)= [" H(u,y)dy因为H(u,y)与H,(u,Jy)=f(u,y)都在R上连续，由可微性
(iii )、 可积性 : 若二元函数 在矩形域 上连续, f ( x , y ) R ( a x b,c y d ) 则 I( x ) 和 J ( y ) 在 [ a , b ] 和 [ c , d ] 可微, 且 = dc ba dc ba dx f ( x, y )dy dy f ( x, y )dx 证 : I (u) ( , ) , 1 = dc ua 记 dx f x y dy 2 I (u) ( , ) d u c a = dy f x y dx 其中u[a,b],则 = = ua I x dx I u dxd I ( u ) ( ) ( ). '1 令 ( , ) = ( , ) , 则 ua H u y f x y dx = dc I (u) H(u, y)dy. 2 因为H(u, y)与 Hu (u, y) = f (u, y)都在R上连续， 由可微性
dH(u, y)dy = [ H,(u, y)dy = [" f(u, y)dy= I(u)I,(u) =du Jc从而I;(u)=I,(u),因此Vue[a,b],有 I, (u)= I,(u)+k, (k为常数)当u=α时,I(α)=I,(a)=0,于是k=0时，即得I (u) = I2 (u),ue[a,b]取u=b,即得所证结论注：可积性说明在f（x，连续的假设下，累次积分"dx"f(x,)dy 与fdy'f(x,y)dx与求积顺序无关
= = = = d c d c u d c H u y dy H u y dy f u y dy I u du d I (u) ( , ) ( , ) ( , ) ( ). ' 2 ( ) ( ), [ , ]. I 1 u = I 2 u u a b 从而I 1 ' (u) = I 2 ' (u),因此u[a,b],有 ( ) ( ) , ( ). I1 u = I2 u + k k为常数 当u = a时，I 1 (a) = I 2 (a) = 0,于是k = 0时， 即得 取u = b,即得所证结论. 注: 可积性说明在f (x, y)连续的假设下， 累次积分 d c b a d c b a dx f (x, y)dy 与 dy f (x, y)dx 与求积顺序无关
3，含参量正常积分的一般新形式定义设 f(x,y)是定义在区域 G=(x,y)lc(x)≤y≤d(x),a≤x≤b上的的二元函数,其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数,若对于[a,b] 每一固定的 x值,f(x,y)作为y 的函数在[c(x),d(x)]上可积,则其积分值是x在[α,b]上取值的函数,表为dXF(X)f(x,y)dy, xe[a,bl称为含参量x的正常积分，或简称含参量积分
设 f (x, y) 是定义在区域 G = (x, y) c(x) y d(x),a x b 上的 f (x, y) 的二元 函数,其中 , 为定义在 上的连续函数, 若 对于 每一固定的 值, 作为 的函数在 上可积,则其积分值是 在 上取值的函数,表为 x c(x) d(x) [a,b] [a,b] [c(x), d(x)] x y [a,b] F(x) ( , ) , [ , ]. ( ) ( ) f x y dy x a b d x c x = 称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分. 3. 含参量正常积分的一般新形式 定义
Y=d(x)G性质：Y=c(X)(连续性G= (x,y)c(x)≤y≤d(x),a≤x<b若二元函数f(x,J)在矩形域1上连续,其中 c(x),d(x)为定义在[α,b]上的连续函数,则函数F(x) =f(x,y)dy在[a,b]上连续
x y o a b G Y=c(x) Y=d(x) • 性质: (i)、 连续性: 若二元函数 f (x, y) 在矩形域 G = (x, y) c(x) y d(x),a x b 上连续,其中 c(x) , d(x) 为定义在 [a,b] 上的连续函数,则函数 = ( ) ( ) F(x) ( , ) d x c x f x y dy 在 [a,b] 上连续
对于参变量的积分[00) f(x, y) dxF(y)= J"它的分析性质也有类似的结果a(y), b(y)定理19.2 设f(x,y)在矩形 [a,b, c,d上连续,都在[c,d止连续，并且(c≤y≤d)a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤boom) f(x, y) dx则F(y)=在lc,dl上连续
对于参变量的积分： = ( ) ( ) ( ) ( , ) b y a y F y f x y dx 它的分析性质也有类似的结果。 在 [c, d ] 上连续。 都在 上连续，并且 定理 19.2 设 f (x, y) 在矩形 [a,b; c, d 上连续， ] a( y), b( y) [c, d ] a a( y) b, a b( y) b (c y d) = ( ) ( ) ( ) ( , ) b y a y 则 F y f x y dx