《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十八章 隐函数定理及其定理 §2 隐函数组

（目录）82隐函数组、隐函数组的概念二、隐函数组的定理6中H例1定理18.4英712三、反函数组及坐标变换概念例2、3定理18.5

§2隐函数组 （目录） 三、反函数组及坐标变换 一、隐函数组的概念 二、隐函数组的定理 定理18.4 例1 概念 定理18.5 例2、3

概念设F(x,y,u,v)和G(x,y,u,v)为定义在区域Vc R4上的两个四元函数。若存在平面区域D，对于D中每一点(x,y)，分别有区间J和K上唯一的一对值uEJ,VεK,F(x,y,u,v)= 0它们与x,y一起满足方程组....(1)G(x,y,u,v)= 0则说方程组（1）确定了两个定义在DR2上，值域分别落在J和K内的函数。我们称这两个函数为由方程组（1所确定的隐函数组。若分别记这两个函数为u=f(x,y)，v=g(x,y),则在上成立恒等式F(x,y,f (x,y),g(x,y) =0G(x,y,f (x,y),g(x,y)=0

概念 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 , , , , , , , , , , , 0 , (1) , , , 0 1 1 F x y u v G x y u v V R D D x y J K u J V K F x y u v x y G x y u v D R J K u     =   =   = 设 和 为定义在区域 上 的两个四元函数。若存在平面区域 ，对于 中每一 点 ，分别有区间 和 上唯一的一对值 ， 它们与 一起满足方程组 则说方程组（）确定了两个定义在 上，值域分别 落在 和 内的函数。我们称这两个函数为由方程组（） 所确定的隐函数组。若分别记这两个函数为 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) , , , , , , , , 0 , , , , , 0 f x y v g x y F x y f x y g x y G x y f x y g x y =   ， 则在上成立恒等式

定理18.4（隐函数组定理）若(1)F(x, y,u, v)与G(x, y,u, v)在以点P。(xo,yo,uo, vo)为内点的区域VCR内连续。(2)F(xo, yo, uo, Vo)= 0,G(xo, yo, uo.Vo)= 0(初始条件)(3)在V内F，G具有一阶连续偏导数;a(F,G)在点P不等于零，(4)J :a(u,v)则在点P的某一(四维空间)U(P)cV内，方程组（1）唯一地确定了定义在点Q。(xo,y)的某一(二微空间)邻域U(Q)内的两个二元隐函数 u=f(x,y),=g(x,y)使得：

定理18.4（隐函数组定理）若 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : , , , , 1 , , (4) (3) (2) , , , 0, , , . 0 (1) , , , , , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 使得 内的两个二元隐函数 一地确定了定义在点 的某一 二微空间 邻域 则在点 的某一 四维空间 内，方程组（）唯 在点 不等于零， 在 内 ， 具有一阶连续偏导数； 初始条件 ； 的区域 内连续。 与 在以点 为内点 U Q u f x y v g x y Q x y P U P V P u v F G J V F G F x y u v G x y u v V R F x y u v G x y u v P x y u v = =    = = = 

1° uo = f(xo,y), Vo = g(xo, y)且当(x, y)e U(Q.)时(x, y, f(x, y),g(x, y)eU(P)F(x, y, f(x, y),g(x, y)=0 ,G(x, y, f(x, y), g(x, y)= 02° f(x,y)g(x,y)在U(Q.)内连续;3° f(x,y),g(x,y)在U(Q.)内有一阶连续偏导数，且ou_1 a(F,G) αv1 a(F,G)axJ a(x,v) ax J o(u,x)Ou1 a(F.G)) αv _1 α(F,G)ayJ a(y,v) oyyJ a(u,y)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . , 1 , , , 1 . , 1 , , , 1 , 3 , , 2 , , , , , , , 0 , , , , , 0 , , , , , , , 1 , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u y F G y J v y v F G y J u u x F G x J v x v F G x J u f x y g x y U Q f x y g x y U Q G x y f x y g x y F x y f x y g x y x y f x y g x y U P u f x y v g x y x y U Q   = −     = −     = −     = −         = =  ， 在 内有一阶连续偏导数，且 在 内连续； 且当 时

F(x, y,u,v)=u2 +y? -x? - y= 0例1 讨论方程组.... (6)G(x,y,u,v)= -u+v-xy+l = 0在点P(2,1,1,2)近旁能确定怎样的隐函数，并求其偏导数。解 首先F(P)=G(P)=O，即P满足初始条件，再求出F,G的所有一阶偏导数F =-2x,F, =-1,F, =2u,F, =2vG, =-y, G, =-x,Gu=-1,G, =1容易计算，在点P处的所有六个雅可比行列式中只有a(F,G))=0. 因此，只有x,v难以肯定能否作为以y,u为a(x, v)自变量的隐函数。除此之外，在P的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数

例1 ( ) ( ) 在点 ( )近旁能确定怎样的隐函数，并求其偏导数。 讨论方程组 2,1,1,2 (6) , , , 1 0 , , , 0 0 2 2 2 P G x y u v u v x y F x y u v u v x y     = − + − + = = + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数。 自变量的隐函数。除此之外，在 的近旁任何两个变量 因此，只有 难以肯定能否作为以 为 容易计算，在点 处的所有六个雅可比行列式中只有 的所有一阶偏导数 解 首先 ，即 满足初始条件，再求出 0 0 0 0 0 0. , , , , , , 1, 1 2 , 1, 2 , 2 , 0 P x v y u x v F G P G y G x G G F x F F u F v F G F P G P P x y u v x y u v =   = − = − = − = = − = − = = = =