第二节二人有限零和对策二、纯策略对策●最大最小（maximin）和最小最大（minimax）准则在对策G={SA，SB；C)中，对局中人A而言“理性的”决策准则便是“最大最小准则”，即先得到每一种策略下的最小赢得，再在这些最小赢得中找出最大赢得：对局中人B而言“理性的”决策准则便是“最小最大准则”，即先得到每一种策略下的最大损失，再在这些最大损失中找出最小损失。有鞍点的对策CiiVa= Vb“，即在矩阵对策中，若，则既是同行中最小又是同列Ci.iCuj,Cnj中最大的元素，即对任意的i，有：Ci,jt称为鞍点。若对策问题具有鞍点，称之为有鞍点的对策
二、纯策略对策 ⚫ 最大最小 （maximin）和最小最大（minimax）准则 在对策G={SA，SB；C}中，对局中人A而言“理性的”决策准则便是“最 大最小准则”，即先得到每一种策略下的最小赢得，再在这些最小赢得 中找出最大赢得；对局中人B而言“理性的”决策准则便是“最小最大准 则”，即先得到每一种策略下的最大损失，再在这些最大损失中找出最 小损失。 ⚫ 有鞍点的对策 在矩阵对策中，若 ，即 ，则既是同行中最小又是同列 中最大的元素，即对任意的i，j有： 称 为鞍点。若对策问题具有鞍点，称之为有鞍点的对策。 a b v v = 1 1 2 2 t t i j i j i j c c c = = , t t t t i j i j i j c c c t t i j c 第二节 二人有限零和对策
第二节二人有限零和对策有鞍点的对策【例4】设有矩阵对策G={SA，Sβ；C]；56其中 C =4试求A、B各自的最优策略及对策值解：A采取策略a时，最小收入是5；采取策略a,时，最小收入是4；这之中的最大收入是5，因此A有理由选择策略a1，V. =5。这样其至少收入5（即
有鞍点的对策 【例4】设有矩阵对策G={SA，SB；C}， 其中 试求A、B各自的最优策略及对策值。 解：A采取策略a1时，最小收入是5；采取策略a2时，最小收 入是4；这之中的最大收入是5，因此A有理由选择策略a1， 这样其至少收入5（即 ）。 6 5 5 4 C = 5 a v = 第二节 二人有限零和对策
第二节二人有限零和对策B采取策略b，时，最大损失是6；采取策略b2时，最大损失是5：这之中的最小损失是5，因此B有理由选择策略b2，这样其至多损失5(即V=5）。这样当A采取策略aj，B采取策略b2，即出现局势（a，b,）时，A将取得他的至少收入5，B将取得他的至多损失5。如果对策重复进行A会一直采取策略a，B会一直采取策略b,吗？也就是说局势（ai，b2）是稳定的吗？
⚫ B采取策略b1时，最大损失是6；采取策略b2时，最大损失是5；这之 中的最小损失是5，因此B有理由选择策略b2，这样其至多损失5 (即 ）。 ⚫ 这样当A采取策略a1，B采取策略b2，即出现局势（a1，b2）时，A将 取得他的至少收入5，B将取得他的至多损失5。如果对策重复进行， A会一直采取策略a1，B会一直采取策略b2吗？也就是说局势（a1，b2 ） 是稳定的吗？ vb = 5 第二节 二人有限零和对策
第二节二人有限零和对策假设A决定一直采取策略ai，B若换作采取策略bi，结果B的损失（也是A的赢得）从5提高到6，显然B不愿意这么做，B有理由决定一直采取策略b2。当B决定一直采取策略b,时，若A换作采取策略a，结果A的赢得（也是B的损失）从5降低为4，显然A不愿意这么做。因此，重复对策的结果是双方都保持固定的策略（A采取策略ai，B采取策略b），局势（ai，bz）稳定出现，V=V,=5，从而对策值v=5
⚫ 假设A决定一直采取策略a1，B若换作采取策略b1，结果B的损失 (也是 A的赢得)从5提高到6，显然B不愿意这么做, B有理由决定一直采取 策略b2。 ⚫ 当B决定一直采取策略b2时，若A换作采取策略a2，结果A的赢得(也是B 的损失)从5降低为4，显然A不愿意这么做。因此，重复对策的结果是 双方都保持固定的策略(A采取策略a1，B采取策略b2)， 局势(a1，b2) 稳定出现， v v a b = = 5 ，从而对策值v =5。 第二节 二人有限零和对策
第二节二人有限零和对策这时矩阵C中元素C12=5便是鞍点，因为它既是同行中最小的又是同列中最大的。鞍点对应的策略a和策略b,将在对策重复进行时被固定采用，这种局中人采用的固定策略称为纯策略。一般地，对矩阵对策G=[Sa，S；C)，若max[min(c,}]=min[max(c,}]=cu成立，则Cij,是鞍点，称鞍点cii,对应的纯策略a,与bi分别是局中人A与B的最优纯策略，称局势（αb,）为平衡局势，或称（ai，b）为对策G的解
⚫ 这时矩阵C中元素c12=5便是鞍点，因为它既是同行中最 小的又是同列中最大的。鞍点对应的策略a1和策略b2将 在对策重复进行时被固定采用，这种局中人采用的固定 策略称为纯策略。 ⚫ 一般地，对矩阵对策G={SA，SB；C}，若 成立，则 是鞍点，称鞍点 对应的纯策略 与 分别是局中人A与B的最优纯策略，称局势（ ，）为 平衡局势，或称（ ，）为对策G的解。 max[min{ }] min[max{ }] t t ij ij i j i i j j c c c = = t t i j c t t i j c t i a t j b t i a t j b t i a t j b 第二节 二人有限零和对策