说明 1.二次型经可逆变换x=O后,其秩不变,但∫ 的矩阵由A变为B=C′AC; 2.要使二次型经可逆变换x=O变成标准形, 就是要使 y CT ACJ=k1+k2y2+…+k 2 n KI K2 y2 9 9 kn 也就是要使CrAC成为对角矩阵
说明 2 2 2 2 2 1 1 n n T T y C ACy = k y + k y + + k y 就是要使 2. 要使二次型f经可逆变换 x = Cy变成标准形, ( , , , ) , 2 1 2 1 1 2 = y y y k k k y y y n n n 也就是要使C AC成为对角矩阵. T ; 1 , , A B C AC . x Cy f T = = 的矩阵由 变为 二次型经可逆变换 后 其秩不变 但
由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使P1AP=A,即PAP=A把此结论应用于二次 型,有 定理2任给二次型∫=∑anx(n=an)总有 i,j=1 正交变换x=Py,使∫化为标准形 ∫=1y2+2y2+…+Any2, 其中,2,…,几是f的矩阵4=(a)的特征值
型 有 使 即 把此结论应用于二次 由于对任意的实对称矩阵 总有正交矩阵 , , . , , 1 = = − P AP P AP A P T ( ) 正交变换 使 化为标准形 定 理 任给二次型 总 有 x Py f f a x x aij a ji n i j ij i j , 2 , , 1 = = = = , 2 2 2 2 2 1 1 n n f = y + y ++ y , , , ( ) . 其中1 2 n是 f 的矩阵A = aij 的特征值
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1将二次型表成矩阵形式f=x1Ax,求出4 2求出4的所有特征值1,2,…,4n; 3求出对应于特征值的特征向量1,2,…,gn; 4将特征向量1,42,…,n正交化,单位化,得 n1,m2,,mn记C=(m1,n2,…,mn 5作正交变换x=Oy,则得f标准形 2 f=n,yi ++a n. n
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 1. f x Ax, A; 将二次型表成矩阵形式 = T 求出 2. , , , ; 求出A的所有特征值1 2 n 3. , , , ; 求出对应于特征值的特征向量 1 2 n , , , , ( , , , ); 4. , , , , , 1 2 1 2 1 2 n n n C 记 = 将特征向量 正交化 单位化 得 . 5. , 2 2 1 1 n n f y y x Cy f = + + = 作正交变换 则得 的标准形
例2将二次型 ∫=17x2+14x2+14x3-4x1x2-4x1x3-8x2x3 通过正交变换x=P化成标准形 解1.写出对应的二次型矩阵,并求其特征值 17-2-2 A=-214 2-414 17- 2 2 A-AE=-214--4F(2-183(2-9) 2-414-
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 − − − − − − = 2 4 14 2 14 4 17 2 2 A − − − − − − − − − − = 2 4 14 2 14 4 17 2 2 A E ( 18) ( 9) 2 = − − , . 17 14 14 4 4 8 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 通过正交变换 化成标准形 将二次型 x Py f x x x x x x x x x = = + + − − − 例2