第9章常微分方程 9.1常微分方程的基本概念 9.2可分离变量的微分方程 9.3一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程 9.4二阶常系数微分方程 9.5常微分方程的应用举例
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例 第9章 常微分方程 结束
9.1常微分方程的基本概念 定义一含有未知函数的导数(或微分)的方程称为 微分方程。 常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程 定义二在微分方程中,所出现的未知函数的最高阶 一阶微分方程的一般形式是F(x,y,y)=0 二阶微分方程的一般形式是F(x,y,y,y")=0 前页后页结束
前页 后页 结束 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。 定义一 9.1 常微分方程的基本概念 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶 一阶微分方程的一般形式是 二阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y ) = 0 F(x, y, y , y ) = 0
注:在微分方程中,未知函数及自变 量可以不出现 例 +ay2=bx是一阶微分方程 db dy+a中+bx=x是二阶微分方程 d d 前页后页结束
前页 后页 结束 是二阶微分方程 d d d d bx x x y a x y + + = 2 2 注：在微分方程中，未知函数及自变 量可以不出现 是一阶微分方程 d d ay bx x y + = 2 2 例：
定义3能使微分方程成为恒等式的函数y=q(x) 叫做微分方程的解 其图形是一条平面曲线,称之为微分方程的 积分曲线 例如,y=e是方程y-2y=0的一个解 我们在学习不定积分时就已经知道,一个导数的原 函数有无穷多个,因此一个微分方程也有无穷多个 解 前页后页结束
前页 后页 结束 定义3 能使微分方程成为恒等式的函数 y = (x) 叫做微分方程的解． 其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的 积分曲线． 例如， x y e 2 = 是方程 y − 2y = 0 的一个解． 我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原 函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个 解．
例1已知直角坐标系中的一条曲线通过点(12) 且在该曲线上任一点p(x,y)的切线斜率 等于该点的纵坐标的平方,求此曲线方程 解设所求曲线的方程为y=y(x) 根据导数的几何意义及本题给出的条件,得 积分得x=-+C 又由于已知曲线过点(1,2),代入上式,得C 3 故所求曲线的方程为x 31 2 前页后页结束
前页 后页 结束 2 y = y 等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程． 例1 已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)， 且在该曲线上任一点 p(x, y) 处的切线斜率 解 设所求曲线的方程为y=y(x)， 根据导数的几何意义及本题给出的条件，得 2 y x y = d d 即 C y x = − + 1 积分得 又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得 2 3 C = 故所求曲线的方程为 y x 1 2 3 = −