第8章多元函数积分学 8.1二重积分的概念与性质 8.2二重积分的计算
8.1 二重积分的概念与性质 8.2 二重积分的计算 第8章 多元函数积分学 结束
81二重积分的概念与性质 811二重积分的概念 引例1曲顶柱体的体积 若有一个柱体,它的底是Oxy平面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准 z=f(x, y) 线,且母线平行于轴的柱面, 它的顶是曲面z=f(xy) 设八(x)≥0为D上的连续函数 我们称这个柱体为曲顶柱体 现在来求这个曲顶柱体的体积 前页后页结束
前页 后页 结束 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D， 它的侧面是以D 的边界曲线为准 线，且母线平行于z轴的柱面， 它的顶是曲面z=f(x,y)， 设 f(x,y)≥0为D上的连续函数. 我们称这个柱体为曲顶柱体. 引例1 曲顶柱体的体积. z f x y = ( , ) 8.1.1 二重积分的概念 8.1 二重积分的概念与性质 现在来求这个曲顶柱体的体积. D
解(1)分割用两组曲线把区域D任意分割成n个小块 △ 其中△概表示第小块,也表示第个小块的面积 (2近似记为的径 f∫(x, 即表示启任意两点间距 离的最大值),在△中任取 点(5,以亮师底 为△的平顶柱体体积为 (5,7) f(5;,n)△ 此为小曲顶柱体体积的近似值 Ao 前页后页结束
前页 后页 结束 其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积. i (2)近似 记 为 的直径 (即 表示 中任意两点间距 离的最大值)，在 中任取一 点 ,以 为高而底 为 的平顶柱体体积为 i i i i i ( , ) i i ( , ) i i f i ( , ) . i i i f 解(1)分割 用两组曲线把区域D任意分割成n个小块: 1 2 , , , , n z f x y = ( , ) ( , ) i i 此为小曲顶柱体体积的近似值 Δσi
(3)求和把所有小平顶柱体的体积加起来得到曲 顶柱体体积的近似值为 ∑f(5,n)△ (4)取极限记λ=max{1,2,…,n},若极限 im∑f(5,m)△ A-0 存在,则它即为所求曲顶柱体的体积 前页后页结束
前页 后页 结束 (4) 取极限 记 = max{ , , , } 1 2 n ,若极限 0 1 lim ( , ) n i i i i f → = 存在,则它即为所求曲顶柱体的体积. (3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲 顶柱体体积的近似值为 1 ( , ) . n i i i i f =
1.二重积分的定义 定义设(xy)是定义在闭区域D上的有界函数 把区域D任意分割成n个小区域:△a,△2,…,△O,其 中△表示第个小区域(i=1,2…,n也表示其面积在每个小 区域△上任取一点(5,m)作和∑f(5,n)a 若伪的直径,记=max{4极限n} im∑f(5,m)△ 存在则称为函数f(在区域D上的定积分记f(x,ylo 即』∫(x,y)o=lm∑/(5,m△o 前页后页结束
前页 后页 结束 1．二重积分的定义 定义 设f (x,y)是定义在闭区域D上的有界函数. 把区域 D 任意分割成n个小区域: 其 中 表示第i个小区域(i=1,2,...,n),也表示其面积.在每个小 区域 i 上任取一点 ,作和 i 1 2 , , , n ， 1 ( , ) n i i i i f = 若 为 的直径，记 = max{ , , , } , 1 2 若极限 n 0 1 lim ( , ) n i i i i f → = i i ( , ) i i 存在,则称为函数 f x y ( , ) 在区域D上的定积分,记 ( , ) D f x y d 即 0 1 lim ( , ) n i i i i f → = ( , ) = D f x y d