第3章中值定理、导数应用 3.1中值定理 3,2洛必达法则 3.3函数的单调性与极值 34函数图形的描绘 36导数在经济中的应用
3.1 中值定理 3.2 洛必达法则 3.3 函数的单调性与极值 3.4 函数图形的描绘 3.6 导数在经济中的应用 结束 第3章 中值定理、导数应用
31.1罗尔定理 定理1设函数f(x)满足下列条件 (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; (3)f(a)=f(b) 则在内至少存在一点, b 使得∫(2)=0 前页后页结束
前页 后页 结束 定理1 设函数 f (x) 满足下列条件 (3) f (a) = f (b) (1) 在闭区间 [a,b] 上连续； (2) 在开区间 (a,b) 内可导; 则在内至少存在一点 ， 3.1.1 罗尔定理 a b 使得 f () = 0
几何解释如图 在直角坐标系Oxy中 曲线y=f(x) J 两端点的连线AB平行 于x轴,其斜率为零 故在曲线弧上定有一点 A B M(,f()) 使曲线在该点的切线平 行于弦AB,即平行 b 于x轴 即f(5)=0 前页后页结束
前页 后页 结束 几何解释如图 A B a b 在直角坐标系Oxy 中 曲线 两端点的连线 平行 于x 轴,其斜率为零 y f x = ( ) AB 故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平 行于弦 ，即平行 于 轴。 AB M f ( , ( )) x f ( ) = 0 O x y 即
3.1.2拉格朗日中值定理 定理2设函数f(x)满足下列条件 (1)在闭区间[a2b]上连续; (2)在开区间(a2b)内可导; 在区间(a,b)内至少存在 使得 M B f∫'()=∫(b)-f(a) b-a y=f(x) b 前页后页结束
前页 后页 结束 则在区间 (a,b) 内至少存在 (1) 在闭区间 [a,b] 上连续； (2) 在开区间 (a,b) 内可导； 定理2 设函数 f (x) 满足下列条件 y = f (x) M A B a b T ( ) ( ) ( ) f b f a f b a − = − 一点 ，使得 3.1.2 拉格朗日中值定理
如图在直角坐标系Oxy 曲线y=f(x)处处有不垂直 于x轴的切线 端点连线AB的斜率为 f(b)-f() T b-a M B 所以定理实际是说存在 y=∫(x) 点,使曲线在该点的 切线T平行于弦AB 即 bx f(9)J(b)-f(a) b-a 前页后页结束
前页 后页 结束 曲线 处处有不垂直 于 轴的切线 如图 在直角坐标系Oxy y f x = ( ) x 端点连线AB的斜率为 f b f a ( ) ( ) b a − − 所以定理实际是说存在 点 ，使曲线在该点的 切线T平行于弦AB。 y f x = ( ) M A B a b T o x y ( ) ( ) ( ) f b f a f b a − = − 即