自测题(一)答案与提示 填空 x In x 7、-25:8、f(x0)=0且f(x)两侧异号 +C:10、2x-1 二、选择 1、B2、B3、D4、D5、B 三、计算 1、解原式=lm x-sin x . lim 1-coSx 1 x→0 xsIn x. tanxI+0 xlnr 0 2、解:原式=lm x-e lim 1-(n x+D)e 1-x+In (hx+1)2e =lim(x.x+x( x+1)2x lim .In(x+vI+ 3、解:原式=ex+x ln(x+√1+x2) 原式=e0=1 4、解:y=-1··sec2x+ sin x. In( tan x)-cox sec x x 2 tan x +sin x In(tan x) SIn SIn x sin x In(tan x) y=cos x In(tan x)+sin x tan x cos x In( tan x)+sec x 5、解:将x=0代入原式,得y=1, 原式两边直接求导,e2(2+y)-(y+xy)snxy=0 将x=0,y=1代入上式 (0)=-2 6、解:设y=y1+y2
自测题（一）答案与提示 一、填空 1、[3，4]； 2、 x x 3 4 3 + ； 3、 2 1 ； 4、2 ； 5、 2 1 − e ； 6、 dx x ln x 1 − ； 7、-25；8、 f (x0 ) = 0 且 ( ) 0 f x 两侧异号 ； 9、 e c x + ( +1) 3 1 3 ； 10、2x −1 二、选择 1、B 2、B 3、D 4、D 5、B 三、计算 1、解原式= 0 lim x→ = − x x x x x sin .tan sin 0 lim x→ = − 3 sin x x x 0 lim x→ 6 1 2 1 cos 2 = − x x 2、解：原式= 1 lim x→ 0 0 ln 1 ln = − + − x x x e x x 1 lim x→ 1 1 1 (ln 1). ln − − + x x e x x = 1 lim x→ 2 ln 2 ln 1 (ln 1) . 1 x e x e x x x x x − − − + = 1 lim x→ ( . (ln 1) 2 2 2 + + = x x x x x x x 3、解：原式= 2 .ln( 1 1 lim x x x x e + + →+ x→+ lim 0 1 1 1 lim ln( 1 ) 2 2 = + = + + →+ x x x x x 原式= 1 0 e = 4、解： x x x x x x x y 2 2 sec tan 1 sin ln(tan ) cos 2 sec 2 1 2 tan 1 = • • + • − • • = x x x x sin 1 sin .ln(tan ) sin 1 + − = sin x.ln(tan x) x x y x x x 2 .sec tan 1 = cos ln(tan ) + sin . = cos x.ln(tan x) + sec x 5、解：将 x = 0 代入原式，得 y = 1， 原式两边直接求导， .(2 ) ( ).sin 0 2 + − + = + e y y xy xy x y 将 x = 0， y = 1 代入上式 y(0) = −2 6、解：设 1 2 y = y + y
VI (,y,=arctan x-1 有:hy=xx-h(x+1 =In +x( =hn yI 1-x+1x+1 x+1 +1 y=y1+y2=( x+1 x+1x 7、解原式」 ecan d arctan x+1(k1+x2 =emx+h2(1+x2)+c 8、解:令x=tant,t∈(0, 原式 ●Sec2tdt=t·sect ect-hn/sect+tan t+c sec t √1+x2· arctan x-hlx+√1+x2|+c 四、应用题 1、(1)Q=-200e02p,Q(0=-200e-2 (2) EO P EO EP 2、利润函数≈(125-x)x (100+x+x +24x-100 L=-x+24:令L=0→x=10,又∠、∠0 x=10时利润最大。 五、证明题 设F(x)=f(x)-f(x+1),则F(x)在(0上连续,F(0)=f(0)-f(1), F(l)=f(1)-f(2)=f(1)-f(0),若,f(0)=f(1)则f(0)=f(1)=f(2), 取=1∈(0.2),有∫(5)=f(+1),若f(0)≠f(1),则F(0)与F(1)异号
1 1 ) , arctan 1 ( 1 2 − + = + = x x y x x y x 有： ln ln ln( 1) y1 = x x − x + 1 1 1 ) ln 1 1 1 ( 1 ln 1 1 + + + = + + − + = x x x x x x x x y y + + + + = 1 1 1 ) ln( 1 ( 1 x x x x x y x 1 1 ) 1 1 .( ) 1 1 1 ( 1 2 2 2 + − = − + − + + = x x x x x y 1 1 1 1 1 ) ln 1 ( 1 2 2 + − + + + + = + = x x x x x x y y y x 7、解：原式= + + + + ( 1) 1 ln(1 ) 2 1 arctan 2 2 2 arctan d x x x e d x x = e x c x + ln (1+ ) + 4 arctan 1 2 2 8、解：令 ) 2 tan , (0, x = t t 原式= • • tdt t t t 2 sec sec tan = t • sec t − sec tdt = t • sec t − ln sec t + tan t + c = + x • x − x + + x + c 2 2 1 arctan ln 1 四、应用题 1、（1） 0.02 2 200 , (100) 200 − Q = − e Q = − e p （2） 50 P EP EQ = − ， P=100= −2 EP EQ 2、利润函数 (100 ) 5 (125 ) 2 x x x x L − + + − = = 24 100 5 6 2 − x + x − 24 5 12 L = − x + ；令 L = 0 x =10 ，又 0 5 12 L = − x =10 时利润最大。 五、证明题 设 F(x) = f (x) − f (x +1) ，则 F(x) 在 (0,1] 上连续， F(0) = f (0) − f (1) ， F(1) = f (1) − f (2) = f (1) − f (0) ，若， f (0) = f (1) 则 f (0) = f (1) = f (2) ， 取 = 1(0,2) ，有 f ( ) = f ( +1) ，若 f (0) f (1) ，则 F(0) 与 F(1) 异号
必存在∈(0,1)c(0.2)使F(5)=0,即f(5)=f(5+1) 自测题(二)答案与提示 填空 1、g(x)= arccos(2-x2)[-√3,-l]l[,]2、-503、e-24、15 a=2;b=-17 9、hnx+snx+c 10, xcosx. In x +sin x-(1+sn x ).hx+c 二、选择 1、A2、C3、 Im [l(3-e)-l(2+x x→02+x x→0 =lim 3 1,则lm( COs x x→02+x In 2 原式 2、原式=lmx2-助 x2-2(sn2x) 4. x. sin x x→0 cos 4x sin 4x 4 =lim x→0 3 3、解:原式两边求导 y 12x+2 yx-y=x+yy 将(1)式两边再求导:yx-y+y’=1+(y1)2+yy”代入y 21+(+x2)22√1+x
必存在 (0,1) (0,2) 使 F( ) = 0 ，即 f ( ) = f ( +1) 自测题（二）答案与提示 一、填空 1、 ( ) arccos(2 );[ 3, 1] [1, 3] 2 x = − x − − 2、-50 3、 −2 e 4、1 5、 2 2 x − 6、 a = 2;b = −1 7、 2 1 1 e e + − 8、1 9、ln x + sin x + c 10、 x.cos x.ln x + sin x − (1+ sin x).ln x + c 二、选择 1、A 2、C 3、D 4、A 5、D 三、计算 1、解： 0 lim x→ x x x e csc ) 2 3 ln( + − = 0 lim x→ [ln( 3 ) ln( 2 )] sin 1 e x x x − − + = 0 lim x→ 1 cos 2 1 3 = − + − − − x e x e x x ，则 0 lim x→ csc 1 ) 2 3 ( − = + − e x e x x 原式= 1 2 ln 2 − + e 2、原式= 0 lim x→ x x x x x 2 2 2 2 2 .sin − sin .cos = 0 lim x→ 4 2 2 (sin 2 ) 4 1 x x − x = 0 lim x→ 3 2 sin 4 4 1 x x − x = 3 4 3 sin 4 lim 6 1 cos 4 lim 0 2 0 = = − → → x x x x x x 3、解：原式两边求导： 2 2 2 2 2 2 . 2 . 1 . 1 ( ) 1 x y x y y x y x y x y + + = • − + y .x − y = x + y.y （1） x y x y y − + = 将（1）式两边再求导 yx − y + y = 1+ ( y) + y.y 2 代入 y 3 2 2 2 2 ( ) 2( ) x y x y dx d y y − + = = 4、解： + + • + + = • 2 2 2 2 1 2 1 ( 1 ) 1 2 1 x x x y
2 121+x2+x2-12√1 1+ √1+x 2+x2)l dx arctan 5、解:原式= dx=- arctan-d arctan r Jatar -(arctan 53)2+x tan x-] tan 3 dx=-(arctan 5)+x, tan +3 n/cos +c 6、解:令x=mnt=cosh原式:」,1 cos tdt dt 1+ d cot t cot t 2+cot- t 四、应用题 1、解:由条件知:c≠0,又∵lm(-)2=e2由拉格朗日中值定理,有 V∈(x-1,x),有:f(x)-f(x-1)=f(5).1, 那么:lm[(x)-f(x =mf()=e故e2=e,:c=1 2、解:由题意,y=f(x)在x=1处连续,且in 4+f(1-x) 2x m(1-x)-/()=-4:mf(=x-(-4=mf(=x)-/0(-1)=-1 f(1)=k=2∴曲线y=f(x)在(1,f(1)的切线方程为:y-2x+6=0 3、解:(1)需求弹性:EQ (-0.5) >1,P>12 12-0.5P24-P Q=12-0.5P;∴P<24,∴商品需求弹性大于1时,商品价格相应取12<P<24 (2)Q=12-0.5P P=24-2Q;L(Q)=R(Q)-C()=P·Q-C(Q)
] 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 [ 4 1 2 2 2 2 x x x x x x + • + − − + • + + = 2 2 2 2 2 . 4 1 1 2 1 . 2 1 1 x x x x x x − + + + + = ) 1 2 1 ( 2 1 1 2 2 2 x x x x − + + = 2 2 (2 ) 1 1 x + x + x − dx x x x dy 3 2 (2 ) 1 1 + + = − 5、解：原式= dx x x dx x x x + + 2 2 cos 1 . 1 1 1 arctan 2 2 2 = − + 2 tan 1 arctan 1 arctan x x d x d x = − + − dx x x x x 2 tan 2 ) . tan 1 (arctan 2 1 2 = c x x x x − + + + 2 ln cos 2 1 2 ) .tan 1 (arctan 2 1 2 6、解：令 x = sin t,dx = costdt 原式= + tdt t t .cos cos 1 . 1 sin 1 2 = + dt t t 2 2 1 csc csc = + − d t t cot 2 cot 1 2 = c t − + 2 cot .arctan 2 1 四、应用题 1、解：由条件知： c 0 ，又 x→ lim x c e x c x c 2 ( ) = − + 由拉格朗日中值定理，有： (x −1, x) ，有： f (x) − f (x −1) = f ( ).1， 那么： x→ lim f (x) − f (x −1)= x→ lim f ( ) = e 故 e e c = 2 ， 2 1 c = 2、解：由题意， y = f (x) 在 x =1 处连续，且 0 lim x→ 1 2 4 (1 ) = − + − x f x 0 lim x→ f (1− x) − f (1) = −4 ； 0 lim x→ = − − − x f x 2 (1 ) ( 4) 0 lim x→ ) 2 1 ( (1 ) (1) • − − − − x f x f =− 1 f (1) = k = 2 曲线 y = f (x) 在 (1, f (1)) 的切线方程为： y − 2x + 6 = 0 3、解：（1）需求弹性： P P EP EQ 12 0.5 ( 0.5) − = − • = 1 24 − − P P ， P 12 Q = 12 − 0.5P ； P 24， 商品需求弹性大于 1 时，商品价格相应取 12 P 24 （2） Q = 12 − 0.5P P = 24 − 2Q; L(Q) = R(Q) − C(Q) = P • Q − C(Q)
(24-2Q)Q-(Q2+5)=24-32-5:L(Q)=24-6x=0→x=4 L"(4)=-6<0,∴Q=4时,利润最大,最大利润为:L(4)=43 五、证明 证:设f(x)=1+xh(x+√1+x2) +x-X∈-00.+0 令f(x)=lm(x+V1+x2)=0→x=0(唯一):f"O)= +x2x0=1>0 f小(0)=0即f(x)≥0,1+xh(x+1+x2)≥√+x2 6-10检测答案 、填空 2 ∑=!x”,x∈(1 7、2ex+(e+2 9、+2 x 二、选择 1、解:原式 √-x2ax令x=snt cos2tdt=2 sin t(l-sin t)dt 1+x 1+sin t cs3s-1-52(-cs2h 4 l∫"x+x) In 2、解:原式= 2|1+x 1+x2x 3、原式小”xd=c 2e的 4、解:由已知条件可得 21)+2
= (24 2 ). ( 5) 24 3 5 2 2 − Q Q − Q + = Q − Q − ； L(Q) = 24 − 6x = 0 x = 4 L(4) = −6 0 ， Q = 4 时，利润最大，最大利润为： L(4) = 43 五、证明 证：设 2 2 f (x) = 1+ x ln( x + 1+ x ) − 1+ x x −,+) 令 ( ) ln( 1 ) 0 0 2 f x = x + + x = x = （唯一） 1 0 1 1 (0) 0 2 = + = x x f f最小 (0) = 0 即 f (x) 0 ， 2 2 1+ x ln( x + 1+ x ) 1+ x 6—10 检测答案一 一、填空 1、 9 2 − ； 2、3； 3、2； 4、 ( a) a 4 1+ 4 ； 5、2 ； 6、 ( ) = − − 1 1 1 n n n x n ，x (−1,1) ； 7、 2edx + (e + 2)dy ； 8、1 ； 9、 4 2 2 x + x ； 10、3 二、选择 1、A 2、B 3、C 4、A 5、C 三、计算 1、解：原式= x dx x t x x 1 sin 1 1 0 2 − = + 令 + 2 0 2 .cos 1 sin sin tdt t t = ( ) − 2 0 sin 1 sin t t dt = − − 2 0 2 2 0 cos sin t tdt = ( ) 4 1 cos 2 1 2 1 1 2 0 − − = − t dt 2、解：原式= ( ) ( ) + + + 1 2 2 2 1 1 ln 2 1 d x x x = + − + − + + 1 2 1 2 1 . 1 1 1 ln 2 1 dx x x x x = ( ) − − + + − + →+ 1 2 2 ln 1 2 1 ln 1 ln lim 2 1 x x x x x = ln 2 4 1 3、原式= ( ) = 1 0 0 2 0 1 0 2 2 2 1 e dy xdx e x dy y y y y = ( 1) 4 1 2 1 1 0 2 = − ye dy e y 4、解：由已知条件可得 + = − y x f x y f x y x g 2 ， − + = y x f y x y x f x y f y x g 1 ， + + = y x f x y y f x y x y f x y x g 2 1 4 2 2 3 2