五管〓次型与线性娈换 w吧w吧w吧行吧吧好产
二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 f(x x2n=m1x+a,2x2+…+am +2a12x1x2+213x1x3+…+2an1mxn-1xn 取an=a,则2axx=axx+anxx,于是 f=auxf +aurxx2+.+aunX,x 2 +a212X1+a22x2+……+a2m2xn +…+ a..1+an2xnx2+…+anx2 ∑ax;x· i,j=1
1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j = ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 一、二次型的表示方法
2.用矩阵表示 f 2 ax +ax. 2 +……+a1ny1Xn a212X1+a22X2+…+a2m℃2 …+I x1十anny 2 2 n 2 十∴+a…X 1 =x1(1x1+a12x2+…+a1nxn) +x2(a21x1+a2x2+…+a2mxn) +…+xn(mnx1+an2x2+…+ and) 1x1+ 1x,+…+a 2 Inn 211 x十∷+a,X 22~2 2 n出n =(x1’x2,…xn anll 十anX 2 2 nn出n
2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )
11 a 12 In 21 22 2n 2 =(x1,x2,…yCn n2 n l 12 In x 记A= 21 22 n n2 n 则二次型可记作∫=x7Ax,其中A为对称矩阵
则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A 记 ( ) = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , ,
二、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对 称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样, 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵4叫做二次型f的矩阵 ∫叫做对称矩阵4的二次型 对称矩阵4的秩叫做二次型∫的秩
二、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩