例1写出二次型 ∫=x1+2x2-3x3+4x1x2-6x2x3 的矩阵 解a1=1,a2=2,a3=-3, = 21 =2, ,=a,=0 13 =-3. 32 120 A=22-3 0-3-3
解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0 − − A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１
六节〓次型的准
二次型及其标准形的概念 定义1含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数 f(x1,x2,…,xn)=a1x2+a2x2+…+amnx2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a n-1,n-n-1n 称为二次型 当a是复数时称为复二次型; 当a是实数时,称为实二次型
一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型
二、化二次型为标准形 对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求 可逆的线性变换,将二次型化为标准形 设 +C1y2 2 十∴+c Inng =C 2 211 22y2 十∴+C nong n y1+c, n2 +…+Cmy n n 记C=(c,则上述可逆线性变换可记作
= + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , 设 二、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy
将其代入∫=xAx,有 f=xTAx=(Cy)A(cy)=y(CTAc)y 定理1任给可逆矩阵C,令B=CAC,如果A为对称 矩阵则B也为对称矩阵且R(B)=R(4) 证明A为对称矩阵即有A=A,于是 BT=CTAC=CTATC=C/AC=B 即B为对称矩阵 ∴B=CrAC, R(B)≤R(4C)≤R(A), 又∵A=(c)BC1,R(4)≤R(BC-)sR(B) R(A=R(B
f x Ax T = 证明 A为对称矩阵,即有A = A T ,于是 ( ) T T T B = C AC 将其代入 f = x T Ax,有 y (C AC)y. T T (Cy) A(Cy) = T = , , ( ) ( ). 1 , , B R B R A C B C AC A T = = 矩 阵 则 也为对称矩阵且 定 理 任给可逆矩阵 令 如 果 为对称 C A C T T = C AC B, T = = B C AC, T = R(B) R(AC) R(A), ( ) , 1 1 − − A = C BC 又 T ( ) ( ) ( ). 1 R A R BC R B − R(A) = R(B). 即 B 为对称矩阵