0200 0002 例9计算 a D a 2a+b 3a+26+c 4a+36+2c+ d a 3a+b 6a+3b+c 10a+66+3c+d 解从第4行开始,后行减前行, r3 a+btc 2-m10 a 2a+b 3a+2b+c 0 a 3a+b 62+36+c b 0 a atb a+b+c r3-r20 0 a 2a+b b 0 aa+b atbtc 上述诸例中都用到把几个运算写在一起的省略写法,这里要注意各个运算 的次序一般不能颠倒,这是由于后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故 例如 b rI+r2 a+c b+d ri-ri a+c b+d 可见两次运算当次序不同时所得结果不同.忽视后一次运算是作用在前 次运算的结果上,就会出错,例如 +c bt d d-b 这样的运算是错误的,出错的原因在于第二次运算找错了对象 外还要注意运算n+r与r+r的区别,记号r,+kr不能写作k+r;
(这里不能套用加法的交换律) 上述诸例都是利用运算r+kr;把行列式化为上三角形行列式,用归纳法 不难证明(这里不证)任何n阶行列式总能利用运算r+kr;化为上三角形行列 式,或化为下三角形行列式(这时要先把a1n,…,an-1.化为0).类似地,利用列 运算c;+kc,也可把行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式 例10设 D,=det(a: ) b D2=det(bu)= b 证明D=D1D2 证对D1作运算r+Mr1,把D1化为下三角形行列式,设为 对D2作运算c,+λc,把D2化为下三角形行列式,设为 0 于是,对D的前k行作运算r;+λr,再对后n列作运算c+lc,把D化为 下三角形行列式
PIt gan=Di D2 例11计算2n阶行列式 d 其中未写出的元素为0 解把D2n中的第2n行依次与第2n-1行、…第2行对调(作2n-2次 相邻对换),再把第2n列依次与第2n-1列、…第2列对调,得 d 0 d 根据例10的结果,有 D,=D,D-m=(ad-bc)D2(n-1) 以此作递推公式,即得 d-bc)"D =(ad-bc)
§6行列式按行(列)展开 般说来,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,我们自然 地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.为此,先引进余子式和代数余子 式的概念 在n阶行列式中,把(i,j)元a;所在的第i行和第j列划去后,留下来的 1阶行列式叫做(i,j)元a的余子式,记作M;记 A4=(-1)M1 A6叫做(i,j)元an的代数余子式 例如四阶行列式 a 12 a a41 a42 a 中(32)元ax2的余子式和代数余子式分别为 a13 a 132 M32 引理一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除(i,j)元an外都为零, 那么这行列式等于an与它的代数余子式的乘积,即 证先证(i,j)=(1,1)的情形,此时 = 这是例10中当k=1时的特殊情形,按例10的结论,即有 MI 从而 D=anA 再证一般情形,此时
为了利用前面的结果,把D的行列作如下调换:把D的第讠行依次与第 1行、第i-2行、…第1行对调,这样数an就调成(1,j)元,调换的次数为 1.再把第j列依次与第j-1列、第j-2列、…、第1列对调,这样数a就调 成(1,1)元,调换的次数为j-1.总之,经i+j-2次调换,把数an调成(1,1)元, 所得的行列式D1=(-1)-2D=(-1)D,而D1中(1,1)元的余子式就是 D中(i,j)元的余子式M 由于D1的(1,1)元为an,第1行其余元素都为0,利用前面的结果,有 于是 D=(-1)D1=(-1)aM=anA 定理3行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和,即 或 D=a1A1+a2A21+…+anA(j=1,2,…,n) D=a1+0+…+00+ 0+…+0+a1n 0|+0 0 00