根据引理,即得 D=anAn+a2Aa2+…+anAn(i=1,2,…,n) 类似地,若按列证明,可得 证毕 这个定理叫做行列式按行(列)展开法则利用这一法则并结合行列式的性 质,可以简化行列式的计算 下面用此法则来计算例7的 D 201-1 1-53-3 保留a3,把第3行其余元素变为0,然后按第3行展开, 5 c1-2c3-1113-1 0010 5-530 =(-1)/s 620 例12证明范德蒙德( Vandermonde)行列式 D 其中记号“Ⅱ"表示全体同类因子的乘积 证用数学归纳法因为 D2 所以当n=2时(8)式成立现在假设(8)式对于n-1阶范德蒙德行列式成立, 要证(8)式对n阶范德蒙德行列式也成立 为此,设法把Dn降阶:从第n行开始,后行减去前行的x1倍,有
D=0 I2( 按第1列展开,并把每列的公因子(x,-x1)提出,就有 上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式,按归纳法假设,它等于所有 (x,-x)因子的乘积,其中n≥i>j≥2.故 )(x3-x1)…(x。 证毕 例11和例12都是计算n阶行列式计算n阶行列式,常要使用数学归纳 法,不过在比较简单的情形(如例11),可省略归纳法的叙述格式,但归纳法的主 要步骤是不可能省略的.这主要步骤是:导出递推公式(例11中导出D2n= (ad-b)D2n-1)及检验n=1时结论成立(例11中最后用到D2=ad-bc) 由定理3,还可得下述重要推论 推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘 积之和等于零即 或 a1A1+a2A2;+…+anA=0,i≠j 证把行列式D=det(an)按第j行展开,有 在上式中把a换成an(k=1,…,n),可得
A1:+a,2A, 当j时,上式右端行列式中有两行对应元素相同,故行列式等于零,即得 nA1+a2Az+…+anAn=0(i≠j 上述证法如按列进行,即可得 a1A1,+a2A2+…+anAn=0(i≠j) 证毕 综合定理3及其推论,有关于代数余子式的重要性质: aA=D∫D,当i= 0,当i≠ D,当 0,当i≠j 其中 ∫1,当;=j 仿照上述推论证明中所用的方法,在行列式det(an)按第i行展开的展开式 det(ai)=aa Aa+ anA, 2+ 中,用b1,b2 依次代替an,aa,…,am,可得 b,=b,A, ,+b2A (9 其实,把(9)式左端行列式按第i行展开,注意到它的(i,j)元的代数余子式 等于det(an)中(i,)元的代数余子式A,(j=1,2,…,n),也可知(9)式成立 类似地,用b,…,b代替det(a)中的第j列,可得
b:A1+b2A21+…+bnA b (10) 例13设 1533 D的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作M4和A,求 A1+A12+A13+A14及M1+M21+M31+Ma 解按(9)式可知A1+A12+A13+A1等于用1,1,1,1代替D的第1行 所得的行列式,即 A1+A12+A1+A14 113412 1011520 1533 2 1121 02 =4 按(10)式可知 Mn+M2+M31+M41=A1-A21+A3-A4 l11 10-5 1111 313 0111 §7克拉默法则 含有n个未知数x1,x2,…,xn的n个线性方程的方程组 21
+…+ax.=b HI= b2 amix+an2I2+.+anT=b 与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用n阶行列式表示,即有 克拉默法则如果线性方程组(11)的系数行列式不等于零,即 ≠0 那么,方程组(11有惟一解 D D (12) 其中D(j=1,2,,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常 数项代替后所得到的n阶行列式,即 D 这个法则的证明在第二章中给出.注意这里的D,有展开式(10) 例14解线性方程组 4x2-7x3+6 21-51 07-513 -30-6r;-2r2 7-712