所以D中可能不为0的项只有一项(-1)a1a2…an,此项的符号(-1)= (-1)°=1,所 §4对换 为了研究n阶行列式的性质,先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系 在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换.将 相邻两个元素对换,叫做相邻对换 定理1一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性 证先证相邻对换的情形 设排列为a1… bn,对换a与b,变为a1…a1bwb1…bm显然,a1,…,an;b1,…, bn这些元素的逆序数经过对换并不改变,而a,b两元素的逆序数改变为:当a<b时,经对 换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变;当a>b时,经对换后a的逆序数不变而b的逆 序数减少1所以排列a1…a1abb1…b。与排列a1…abub1…b的奇偶性不同 再证一般对换的情形 设排列为a1…a1ab1…bbc1…cn,把它作m次相邻对换,变成a;…aabb1…bnc1…cn 再作m+1次相邻对换,变成a1…ab1…bc:…cn,总之,经2m+1次相邻对换,排列a ab1…bnbc1…cn变成排列a1…ab;…bac1…cn,所以这两个排列的奇偶性相反 推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为 偶数 证由定理I知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数 为0),因此知推论成立 证毕 利用定理1,下面来讨论行列式定义的另一种表示法 对于行列式的任一项 其中1…i…j…n为自然排列,t为排列p1…p…p…p。的逆序数,对换元素a灬与a成 这时,这一项的值不变,而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换.设新的行标排列 1…j…i…n的逆序数为r,则r为奇数;设新的列标排列p1……p…p的逆序数为t;,则 (-1)‘=-(-1)’.故(-1)=(-1)””, 于是 这就表明,对换乘积中两元素的次序,从而行标排列与列标排列同时作了相应的对换,则 行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性经一次对换是如此,经多次对换当然还 是如此.于是,经过若干次对换,使:
列标排列p1p2…pn(逆序数为t)变为自然排列(逆序数为0); 行标排列则相应的从自然排列变为某个新的排列,设此新排列为 其逆序数为 s,则有 ,若 (即 ).可见排列 由排列p ,所惟 确定 由此可得 定理2n阶行列式也可定义为 其中t为行标排列p1p2…pn的逆序数 证按行列式定义有 D1=∑(-1) 由上面讨论知:对于D中任一项(-1)anp,a2p,…a,总有且仅有D,中的某一项 (-1)a1a23…a与之对应并相等;反之,对于D1中的任一项(-1)an1an2"a,也总 有且仅有D中的某一项(-1)’a1,a2n…am与之对应井相等,于是D与D1中的项可以 一对应并相等,从而D=D §5行列式的性质 记 行列式D称为行列式D的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等 证记D=det(an)的转置行列式 b2t b 即D"的(,j)元为b,则b,=an(i,j=1,2,…,n),按定义 D=2(-1)b1,b2,…bn=2(-1)
由定理2,有 D=Σ(-1)a 故 证毕 由此性质可知,行列式中的行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立,反之亦然 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 证设行列式 D 是由行列式D=det(an)对换i,两行得到的,即当k≠,时,b=;当k=,时,b= a,于是 =Σ(-1)a1n1"“n"a¨a 其中1…i…j…n为自然排列,t为排列p…p…p…p。的逆序数设排列p1…p…p:…p 的逆序数为t1,则(-1)=-(-1),故 D4=-(-1)an1"aa小¨a 毕 以r,表示行列式的第行,以c表示第讠列交换i,两行记作r→r,交 换i,两列记作c→c 推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零 证把这两行互换,有D=-D,故D=0 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式 第i行(或列)乘以k,记作r,Xk(或c×k) 推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外 面 第i行(或列)提出公因子k,记作r÷k(或c÷k) 性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零 性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如第i列的元素 都是两数之和: a21a22 10
则D等于下列两个行列式之和 a D 性质6把行列式的某一列(行)的备元素乘以同一数然后加到另一列(行) 对应的元素上去,行列式不变 例如以数k乘第j列加到第i列上(记作c+kc;),有 c;+k,a21 (a2;+ka2) a (以数k乘第j行加到第i行上,记作r,+kr) 以上诸性质请读者证明之 上述性质5表明:当某一行(或列)的元素为两数之和时,行列式关于该行 (或列)可分解为两个行列式.若n阶行列式每个元素都表示成两数之和,则它 可分解成2个行列式例如二阶行列式 a+r b+ a b d + u d+ u b 性质2,3,6介绍了行列式关于行和关于列的三种运算,即r;艹n,r1×k, r+kr和c“E,c;×k,C;+kc,利用这些运算可简化行列式的计算,特别是利 用运算r;+kr(或c1+kc)可以把行列式中许多元素化为0计算行列式常用的 种方法就是利用运算r:+k,把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列 式的值.请看下例
3-4 3-3 解 1052 1 3521 0-8 413 141 5 3 0 6-27 0-84 21672 000 3200 1118 016-27 15 000 1052 上述解法中,先用了运算c1*c2,其目的是把a换成1,从而利用运算r r:,即可把a(i=2,3,4)变为0.如果不先作c1“c2,则由于原式中a1=3, 需用运算-3n把a1变为0,这样计算时就比较麻烦第二步把n2-n和 r4+5r1写在一起,这是两次运算,并把第一次运算结果的书写省略了 例8计算 131 11 解这个行列式的特点是各列4个数之和都是6.今把第2,3,4行同时加 到第1行,提出公因子6,然后各行减去第一行 6666 r1+n2+r3+r41311 613 113 12