第二节数列的极限 教学目的:理解数列极限的概念,为研究微积分作好工具准备 教学重点:收敛数列的性质及运算法则 教学难点:数列极限概念的理解及计算 、数列极限的概念及定义 本节讨论定义域为自然数集N,值域含于实数集R的函数。其函数只可按照变量的 顺序排列为 不=∫(1),巧=∫(2),…,=f(m),… 因此,有下列定义 定义设是定义于N上的一个函数,其函数值按=1,2,3…的顺序排列成一个序列 1=(1),巧2=J(2),x=J(3),…,不=f(n),… 就成为数列,简单地记作(x]。不称为数列的第n项或通项,n为脚标 (1) ∫(-12 (3){(-1-1-1,-…(-… 观察上面的几个数列,我们可以发现随着n的无限增大,有的数列无限的趋近一个 常数a,有的数列无限增大,而有的数列则与前两种情况不同数列的极限就是研究在自 变量n无限增大这种趋势下,因变量石=∫(n)的变化趋势.当n→0(即n无限增大) 时,如果的不=J(m)的变化趋势由一个确切的“目标”a,那么常数a就叫做该数列 f()在n→0时的极限例如:当n→时,的极限为0,(nJ的极限也是 n的极限为2,而(2)5(-没有极限 如果数列不,当n无限增大时,数列不x的取值能无限接近常数a,我们就称a是xx当 n→00时的极限,记作 当然,以上的说法仅仅是数列极限的一种定性描述我们在研究数列极限时,只凭定性 描述和观察很难做到准确无误,特别在理论推导中,以直觉作为推理的依据是不可靠 的,因此有必要寻求用精确的、定量化的数学语言来刻画数列的极限我们注意到在数列 极限中“n→00”,以及“xx无限的趋近于a”,它主要强调的是“一个过程”以及 种“接近”程度,经过前人的不断总结给出了一下定义
第二节 数列的极限 教学目的：理解数列极限的概念，为研究微积分作好工具准备 教学重点：收敛数列的性质及运算法则 教学难点：数列极限概念的理解及计算 一、数列极限的概念及定义 本节讨论定义域为自然数集N，值域含于实数集R的函数。其函数只可按照变量的 顺序排列为 ， ，…， ，… 因此，有下列定义： 定义 设f是定义于N上的一个函数，其函数值按 …的顺序排列成一个序列： ， ， ，…， ，… 就成为数列，简单地记作 。 称为数列的第n项或通项，n为脚标. 例如： 观察上面的几个数列，我们可以发现随着 的无限增大，有的数列无限的趋近一个 常数 ，有的数列无限增大，而有的数列则与前两种情况不同.数列的极限就是研究在自 变量 无限增大这种趋势下,因变量 的变化趋势.当 （即 无限增大） 时，如果的 的变化趋势由一个确切的“目标” ，那么常数 就叫做该数列 在 时的极限.例如：当 时， 的极限为0， 的极限也是 0， 的极限为2，而 与 没有极限. 如果数列 ，当 无限增大时，数列 的取值能无限接近常数 ，我们就称 是 当 时的极限，记作 . 当然，以上的说法 仅仅是数列极限的一种定性描述.我们在研究数列极限时，只凭定性 描述和观察很难做到准确无误，特别在理论推导中，以直觉作为推理的依据是不可靠 的，因此有必要寻求用精确的、定量化的数学语言来刻画数列的极限.我们注意到在数列 极限中“ ”，以及“ 无限的趋近于 ”，它主要强调的是“一个过程”以及 一种“接近”程度，经过前人的不断总结给出了一下定义
设x为一个数列对于任意给定的正数E(不论它多么小),总存在正整数M,使得对 于n>M时的一切不,不等式 a<e 都成立,则称常数a是数列xx的极限,或者称数列xx收敛于a,记为 lm xx 或 →a(n→) 如果数列没有极限,就说数列是发散的 为了以后论述的方便,数列极限的定义,常用逻辑符号来表达: ve>0,3M>0,使得Vn>M,有-a<e 定义中极限a(a是一个常数)及任意给定的正数e,它确定了a一个领域 (a-E,a+e);总存在正整数N,也确定数列不中的某一项不;只要n>M,就有 -叫<E成立即说明从不以后的所有项不,+…,全落入(a-Ea+)中 需要指出的是,任意给定的数E,一方面由于E的任意性,决定了它的取值有无限种的 可能,从而可以任意的小,以刻画x与a的无限逼近另一方面是E的确定性,它是任 意给定的,一旦给出后,它就定了,这样就可以找出N(即确定出M这一项),使得 以后的所有项在(a-E,a+e)中,但是M不是唯一的,只要保证N存在即可例如 对于某一个 6>0,存在正整数M,只要n>N,就有,-a<E成立,那么此时也有:对于上 面的司>0,M1是大于M的确定的正整数(例如M1=M+5),当n>M1时, x-d<6也成立 为了更直观的说明E与M之间的关系,看下面例题 1imn2+2(-1 例2-1用数列极限定义证明→。n +2(-1)22( 证因为 vEe>0,做一<,则e少 (即确定了不M这 项),则当Vx>M时,有 1<g 所以 lim2+2(-1 在以上证明中,当100时,M=200.也就是说从第200项以后,数列的所有项: xm,x到…均满足-叫<100当=1时,M=2×10,v>M的不均满足
设 为一个数列对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 ，使得对 于 时的一切 ，不等式 都成立，则称常数 是数列 的极限，或者称数列 收敛于 ，记为 或 . 如果数列没有极限，就说数列是发散的. 为了以后论述的方便, 数列极限的定义，常用逻辑符号来表达： ，使得 ，有 . 定 义 中 极 限 （ 是 一 个 常 数 ） 及 任 意 给 定 的 正 数 ， 它 确 定 了 一 个 领 域 ；总存在正整数 ，也确定数列 中的某一项 ；只要 ，就有 成立.即说明从 以后的所有项 ，全落入 中. 需要指出的是，任意给定的数 ，一方面由于 的任意性，决定了它的取值有无限种的 可能，从而可以任意的小，以刻画 与 的无限逼近. 另一方面是 的确定性，它是任 意给定的，一旦给出后，它就定了，这样就可以找出 （即确定出 这一项），使得 以后的所有项在 中，但是 不是唯一的，只要保证 存在即可.例如 对于某一个 ，存在正整数 ，只要 ，就有 成立，那么此时也有：对于上 面的 ， 是大于 的确定的正整数（例如 ），当 时， 也成立. 为了更直观的说明 与 之间的关系，看下面例题。 例2-1 用数列极限定义证明 。 证 因为 ， ，欲使 。只要 ，即 ，取 （即确定了 这 一项），则当 时，有 所以 在以上证明中，当 时， .也就是说从第200项以后，数列的所有项： 均满足 当 时， ， 的 均满足
xm-al 103.需要指出,一般e(E>0)越小,则M越大,但N不是唯一的例如 100时,取M=300也行(但N=190则不行,为什么?) 例1-4设<1 证明数列 g2,q2 的极限是0。 证因-0=p2-0= 令1+t(由于<1,故t>0), 则 (1 +t)=1+nt+ (n-1) 所以 x-0= (1+) v>0要使x-0<E,只要 即"t,取Lte」,则当n>M时 有 lr-olke 所以 imq2=0<1 在以上证明中为了取得N的较简单的表达式,应用了二项式定理。如果从1<通过取 In a In e 对数得 7p,取[lnJ也可以。在用e-M定义证明极限时,为了得到N的 较为简单的表达式,要对x-l进行适当的放大,其主要手法是使-l≤q(n), q(n)<E时,比较容易地解出n>(e) sin(n+1) 0 例2-2用极限定义证明→n2+3n+1 证因为 sin(n+ -02+3+x2+3+1 in(n+ x2-0 2+3m+1 <E E>0要使-0<E,只要,即 2> N 则对n>M 有 -0=+1 0|<E 所以 1) n2+3n+1
.需要指出，一般 越小，则 越大，但 不是唯一的.例如 时，取 也行（但 则不行，为什么？）。 例1-4 设 ，证明数列 的极限是0。 证 因 令 ,(由于 ，故 )， 则 所以 . 要使 ，只要 ，即 ，取 ，则当 时， 有 ， 所以 在以上证明中为了取得N的较简单的表达式，应用了二项式定理。如果从 通过取 对数得 ，取 也可以。在用 定义证明极限时，为了得到N的 较为简单的表达式，要对 进行适当的放大，其主要手法是使 ，当 时，比较容易地解出 。 例 2-2 用极限定义证明 证 因为 要使 ，只要 ，即 。取 ，则对 有 所以
<E 在以上证明中。我们也可以使 3n。但若使 n2+3+1,那N的表 达式就过于繁琐。由于极限定义中的N不唯一,证明时我们力求使N更简单一些。需要 指出:一般情况下,用定义只能验证某数是否为某数列的极限,不能用它来求数列的极 限,但通过数列的E-N定义可以证明有关的运算法则及定理,再通过它们来求极限。 下面我们介绍极限的运算法则和求极限的一些方法。 、收敛数列的性质及运算法则 对于一个数列,如何判断它是否收敛(即极限是否存在)?如果收敛,又怎样求出它的 极限?这是极限理论中至关重要的两个基本问题,为此我们必须讨论数列极限的性质及 运算法则。 定理设 lim x,=a, lim y,=b N→ 1)1m(xy)=mx土1m%=a土 (2) lim(z, D )=lim x dim a=aLb lim >, lim xx ≠ ()imx=aim-a=0(由此可得)JimC=C imx2=a→ lim x=|l (1)仅就 (*,+yn)=lim xm +lim yx=a+b 证之 由如x=a,1my=b E>0,31>0n>M,有3-a|<ef2, ve>0,M2>0,n>M2,有p-a<e/2 因为 (x+y)-a+b≤(x-a)+(”2-b)=-a+b-b 所以 ve>0,N=max(M,M2)>0使得vn>M,有 (x2+y)-(a+b)≤|-a+以-b≤+5=c 注证明中出现了M,主要是为了体现对同一标准2巧→a,)→b“速度”的不 X →0 同。例如 当2200时 200,取 M1=200, -4<5,p,-b<5 E 200,取M2=3。至于 2,中用2是为了 最后结论与定义一致。 (2)、(3)在后面加以证明,(4)、(5)可直接用极限定义证明(读者自证)。 0 定理 若数列{x】有界,且 lim x,,,=0 N→
在以上证明中。我们也可以使 。但若使 ，那N的表 达式就过于繁琐。由于极限定义中的N不唯一，证明时我们力求使N更简单一些。需要 指出：一般情况下，用定义只能验证某数是否为某数列的极限，不能用它来求数列的极 限，但通过数列的 定义可以证明有关的运算法则及定理，再通过它们来求极限。 下面我们介绍极限的运算法则和求极限的一些方法。 二、收敛数列的性质及运算法则 对于一个数列，如何判断它是否收敛（即极限是否存在）？如果收敛，又怎样求出它的 极限？这是极限理论中至关重要的两个基本问题，为此我们必须讨论数列极限的性质及 运算法则。 定理 设 ，则 （1） （2） （3） （4） （由此可得） （5） 证 （1）仅就 证之。 由 知： 因为 所以 ，有 注 证明中出现了 主要是为了体现对同一标准 “速度”的不 同。例如 。当 时， ，取 ，取 。至于 ，中用 是为了 最后结论与定义一致。 （2）、（3）在后面加以证明，（4）、（5）可直接用极限定义证明（读者自证）。 定理 若数列 有界，且 ，则
证由{x]有界知M>0,Vm∈M,有|xl≤M, 又12=0,可知,V80M0y>,有<立 因为-k,M=(当为>M时) 所以,VE>0,3N>0,Vn>M,有xy-0<E 也即m不y=0 读者也许注意到了,对于一个具体数列我们用定义证明其极限是某个数时,项数N是一 个具体的表达式(表达式不惟一)。而对于抽象的数列极限(如以上的法则等)证明项 数N是通过已知数列极限中所得的项数确定的,它们虽然不尽相同,但是目的是为了保 证项数N的存在性。用E-M定义证明一些命题,初学者有一定的难度,下面再介绍夹 逼定理。通过该定理可以证明一些数列的收敛性,相对而言,比用E-M定义要简单一 定理(夹逼定理)已知三数列{x],{yn(2满足Wn∈My三≤2且 limy=a, lima,=a n lim x,=a 证由 Y, =a lm z,=a 得 vE>0,丑M1>0,n>M,有-a|<E ve>0,M2>0,vx>M2,有,-a n>max(N, N2)H E<yn≤x≤2<a+E x a<a 所以E>0,3N=ma(M,M2,n>M,有x-al<E,有 所以 xx=a lim n=1 例2-3证明 1 证欲证1m》2=1 1|=0 即证 1 因为n>1时 1>0,所 令 即 所以 (1+a2) n(n 即 因为
证 由 有界知 ，有 ， 又由 ，可知， ，有 因为 （当 时） 所以， ，有 ， 也即 . 读者也许注意到了，对于一个具体数列我们用定义证明其极限是某个数时，项数N是一 个具体的表达式（表达式不惟一）。而对于抽象的数列极限（如以上的法则等）证明,项 数N是通过已知数列极限中所得的项数确定的，它们虽然不尽相同，但是目的是为了保 证项数N的存在性。用 定义证明一些命题，初学者有一定的难度，下面再介绍夹 逼定理。通过该定理可以证明一些数列的收敛性，相对而言，比用 定义要简单一 些。 定 理 （ 夹 逼 定 理 ） 已知三数列 满足 且 则 证 由 , 得 当 时， 即 所以 有 所以 . 例 2-3 证明 ， 证 欲证 ，即证 因为 时， ，所以 令 即 所以 即 又因为