、三阶行列式 定义设有9个数排成3行3列的数表 (5) 13 a21 a a1 ama a1a21a33-a13a2243, (6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式 上述定义表明三阶行列式含6项,每项均为不同行不同列的三个元素的乘 积再冠以正负号,其规律遵循图1.2所示的对角线法则:图中有三条实线看做是 平行于主对角线的联线,三条虚线看做是平行于副对角线的联线,实线上三元素 的乘积冠正号,虚线上三元素的乘积冠负号 图1.2 例2计算三阶行列式 解按对角线法则,有 D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-4)×(-2)×4 1×1×4-2×(-2)×(-2)-(-4)×2×(-3) 4-6+ 4-8-24=-14 例3求解方程
解方程左端的三阶行列式 D=3x2+4x+18-9x-2x2-12 由x2-5x+6=0解得x=2或x=3. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,为研究四阶及更高阶行列式,下面 先介绍有关全排列的知识,然后引出n阶行列式的概念 §2全排列及其逆序数 先看一个例子 引例用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解这个问题相当于说把三个数字分别放在百位、十位与个位上,有几种 不同的放法 显然,百位上可以从1,2,3三个数字中任选一个,所以有3种放法;十位 只能从剩下的两个数字中选一个,所以有2种放法;而个位上只能放最后剩下的 一个数字,所以只有1种放法因此,共有3×2×1=6种放法 这六个不同的三位数是 123,231,312,132,213,321 在数学中,把考察的对象,例如上例中的数字1,2,3叫做元素.上述问题就 是:把3个不同的元素排成一列,共有几种不同的排法? 对于n个不同的元素,也可以提出类似的问题:把n个不同的元素排成 列,共有几种不同的排法? 把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(也简称排列) n个不同元素的所有排列的种数,通常用P表示,由引例的结果可知P3 3-2·1=6 为了得出计算Pn的公式,可以仿照引例进行讨论 从n个元素中任取一个放在第一个位置上,有n种取法; 又从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上,有n-1种取法; 这样继续下去,直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上,只有1种取 法.于是 P=n·(n-1)……3·2·1=n 对于n个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序(例如n个不同
的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这n个元素的任一排列中,当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有1个逆序.一个排列中所有逆 序的总数叫做这个排列的逆序数 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列 下面来讨论计算排列的逆序数的方法 不失一般性,不妨设n个元素为1至n这n个自然数,并规定由小到大为 标准次序设 P1p2…pn 为这n个自然数的一个排列,考虑元素p(i=1,2,…,n),如果比p大的且排 在p前面的元素有t,个,就说p这个元素的逆序数是t1全体元素的逆序数之 总和 即是这个排列的逆序数 例4求排列32514的逆序数 解在排列32514中 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数有一个(3),故逆序数为1; 是最大数,逆序数为0; 1的前面比1大的数有三个(3、2、5),故逆序数为3; 的前面比4大的数有一个(5),故逆序数为1,于是这个排列的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5. §3n阶行列式的定义 为了给出n阶行列式的定义,先来研究三阶行列式的结构.三阶行列式定 义为 a2a2 a23=a11a2a33+ a12a23a31+a13a21a32 容易看出 (i)(6)式右边的每一项都恰是三个元素的乘积,这三个元素位于不同的 行、不同的列因此,(6)式右端的任一项除正负号外可以写成a1a2,a3,这
里第一个下标(行标)排成标准次序123,而第二个下标(列标)排成pp23,它 是1,2,3三个数的某个排列这样的排列共有6种,对应(6)式右端共含6项 (i)各项的正负号与列标的排列对照 带正号的三项列标排列是123,231,312 带负号的三项列标排列是132,213,321 经计算可知前三个排列都是偶排列,而后三个排列都是奇排列因此各项所 带的正负号可以表示为(-1),其中t为列标排列的逆序数 总之,三阶行列式可以写成 az a a2 =2(-1)a1, 4-2, a, 32a: 其中t为排列户1巾2p3的逆序数,∑表示对1,2,3三个数的所有排列p1p2p3取 仿此,可以把行列式推广到一般情形. 定义设有n2个数,排成n行n列的数表 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号(-1)2,得到形如 的项,其中p1p2…p。为自然数1,2,…,n的一个排列,t为这个排列的逆序数 由于这样的排列共有n!个,因而形如(7)式的项共有n!项所有这n!项的 代数和 ∑(-1)a1p,a2B,…am 称为n阶行列式,记作 简记作det(a),其中数an为行列式D的(i,j)元 6
按此定义的二阶、三阶行列式,与§1中用对角线法则定义的二阶、三阶行 列式,显然是一致的当n=1时,一阶行列式|a|=a,注意不要与绝对值记号相 昆淆 例5证明n阶行列式 λ1A λ1 其中未写出的元素都是0. 证第一式左端称为对角行列式,其结果是显然的,下面只证第二式 在第二式左端中,,为行列式的(i,n-i+1)元,故记λ=a,-1,则依行 列式定义 2,n-1 (-1)"λ1A2… 其中t为排列n(n-1)…21的逆序数,故 t=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1) 证毕 主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角形行列式,它的 值与对角行列式一样 例 明下三角形行列式 = 证由于当j>i时,a4=0,故D中可能不为0的元素a,其下标应有 户≤i,即户1≤1,p2≤2,…,pn≤n 在所有排列p12…P中,能满足上述关系的排列只有一个自然排列12…n