第四版前言 本书第三版自1999年出版以来,广大读者和使用本书的同行们对于它的编 写体系,即先建立线性方程组理论、后讨论向量组的线性相关性的体系,都表示 赞同,认为这样的编排有利于理解线性代数的抽象的知识,降低了学习本课程的 难度。因此在这次修订时,我们保留了原来的体系,仅对其中几处作了次序的 整,以使叙述更加顺畅;在文字上也作了少许修改,并增加了一些解说性的段落, 以使论述更加通俗易懂;此外还调整并增加了部分例题和习题,其中有些选自近 年研究生入学考试的试题。 这次修订工作仍由同济大学骆承钦同志承担。 编者 2003年2月
目录 第一章行列式……… §1二阶与三阶行列式 §2全排列及其逆序数 145 83n阶行列式的定义… 4对换· §5行列式的性质 §6行列式按行(列)展开 §7克拉默法则… 习题 第二章矩阵及其运算 1矩阵 §2矩阵的运算… §3逆矩阵… 84矩阵分块法 习题二 第三章矩阵的初等变换与线性方程组… §1矩阵的初等变换 82矩阵的秩… §3线性方程组的解… 习题三 第四章向量组的线性相关性… §1向量组及其线性组合… §2向量组的线性相关性 §3向量组的秩… §4线性方程组的解的结构… §5向量空间 习题四
第五章相似矩阵及二次型… 111 §1向量的内积、长度及正交性 §2方阵的特征值与特征向量… §3相似矩阵 §4对称矩阵的对角化 §5二次型及其标准形 §6用配方法化二次型成标准形…… §7正定二次型… 习题五 第六章线性空间与线性变换 §1线性空间的定义与性质… 82维数、基与坐标 83基变换与坐标变换 84线性变换 §5线性变换的矩阵表示式………… 习题六 习题答案 Ⅱ
第一章 行列式 本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法此外还要介绍用n 阶行列式求解n元线性方程组的克拉默( Cramer)法则 §1二阶与三阶行列式 二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 +arc2=b1, (1) 为消去未知数x2,以a2与a12分别乘上列两方程的两端然后两个方程相减,得 11a22 )x1=b1 类似地,消去x1,得 当a1a2-a12a21≠0时,求得方程组(1)的解为 anb2-b1 (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.其中分母aua22 a12a21是由方程组(1)的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组(1)中 的位置,排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表 表达式a1a2-a12a21称为数表(3)所确定的二阶行列式,并记作 (4)
数an(i=1,2;j=1,2)称为行列式(4)的元素或元元素an的第一个下标 称为行标表明该元素位于第i行第二个下标j称为列标表明该元素位于第 j列位于第i行第j列的元素称为行列式(4)的(i,j)元 上述二阶行列式的定义,可用对角线法则来记忆参看图1.1,把a1到a22 的实联线称为主对角线,a12到a2的虚联线称为副对角线, 于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角 线上两元素之积所得的差 利用二阶行列式的概念,(2)式中x1,x2的分子也可写 成二阶行列式,即 图1.1 bt b 若记 D 那么(2)式可写成 D1|b2 D 62 11 注意这里的分母D是由方程组(1)的系数所确定的二阶行列式(称系数行 列式),x1的分子D1是用常数项b1,b2替换D中x1的系数a1,a21所得的二 阶行列式,x2的分子D2是用常数项b,b2替换D中x2的系数an2,a2所得的 二阶行列式 例1求解二元线性方程组 解由于 3-(-4)=7≠0 D4=|12-2=12-(-2)=14 D2=12 =3-24=-21, 因此 D