《应用随机过程教程》教学资源（参考资料）与在算法和智能计算中的应用——第17章 Poisson随机分析简介与典型的点过程

∑Ef(r)|N,=川]=E∑f(m)=E(∑f(m)=∑E/(m) =nl f(u) (17.12) 于是 E(f(sN,)=∑∑E(r)1M,=nP(N=n 此即(17.10).(17.11)的证明是类似的 注也可以用特征泛函Φx(9·)对9求一阶微商和二阶微商得到 命题17.14(非时齐的 Poisson过程的补偿函数)设N1是以A(1)为强度函数 的非时齐的isom过程,那么N,=N-「(s)d是鞅.A(s)d称为非时齐的 Poisson过程的补偿函数 定义17.15(对非时齐的 Poisson过程的随机积分)对于有界的(N,)可知的 随机过程,用与Ito积分类似地用积分和的极限,可以定义H关于鞅N,的随机积分, 以及关于N,的随机积分: p.dN 中(N,≥1) 关于鞅N的随机积分是Io积分的非时齐的 Poisson版本,而且有 里,Ny=「坐dN,+平,x(s) 关于时齐的 Poisson过程的随机积分有许多与lto积分相仿的性质. 命题17.16鞅Nt的特征泛函为

454 [ ( ) | ] ( ( )) ( ( )) ( ) 1 1 * 1 1 k n k k n k k n k k t n k å E f t N n E å f h E å f h å Ef h = = = = = = = = du s ds u n f u t t ( ) ( ) ( ) 0 0 l l ò ò = ． （１７．１２） 于是 ( ( ) ) 0 s t E ò f s dN [ ( ) | ] ( ) 0 1 E f k Nt n P Nt n n n k = å å = = = ¥ = t du s ds u EN f u t t t ( ) ( ) ( ) 0 0 l l ò ò = = f u u du t ( ) ( ) 0 l ò ． 此即（１７．１０）．（１７．１１）的证明是类似的. 注 也可以用特征泛函 ( f ) N F J × 对J 求一阶微商和二阶微商得到． 命题１７．１４ （非时齐的 Poisson 过程的补偿函数） 设Nt 是以l(t) 为强度函数 的非时齐的 Poisson 过程，那么N N s ds t t t ( ) 0 ~ l ò = - D 是鞅． s ds t t ( ) 0 l ò D L = 称为非时齐的 Poisson 过程的补偿函数． 定义１７．１５ （对非时齐的 Poisson 过程的随机积分） 对于有界的 ) （Nt 可知的 随机过程Yt ，用与 Ito 积分类似地用积分和的极限，可以定义Yt 关于鞅 N t ~ 的随机积分， 以及关于 Nt 的随机积分： ï î ï í ì = Y ³ Y = å ò = 0 ( 0) ( 1)) 1 0 t t N n s s t N N dN n t t ． 关于鞅 N t ~ 的随机积分是 Ito 积分的非时齐的 Poisson 版本, 而且有 dN d N s ds s t s s t s s t ( ) 0 ~ 0 0 Y = Y + Y l ò ò ò 关于时齐的 Poisson 过程的随机积分有许多与 Ito 积分相仿的性质． 命题１７．１６ 鞅N t ~ 的特征泛函为

op ()=ee (17.13) 推论1 7 (1) E(Ns N,) (2)E(N1N2N) A(udu (3) E(N, N N, N,)=a(u)du+Cov(M ) COv(N, N,)+ COv(N,, N,) COv(N, N,) 明取f()=∑9lon1( ()记为o(9,…,94)·求 0q(00.00,),就得到(3).其它类似 [注]对于一般未必可微的递增函数A,,还可以推广定义以A,为补偿函数的非时齐的 Poisson 过程N:非时齐的独立增量过程,且对于任意S<t,有N1-N,~ Poisson..此时仍有 与(17.8),(17.10),(17.11)与(17.12)相应的结论 1.5非时齐的复合 Poisson过程及其特征泛函 定义17.18设N为非时齐的 Poisson过程,{Xn}为与之独立的独立同分布随机 变量序列F,=∑x称为非时齐的复合 Poisson过程{xm}称为赋值随机变量序列(或 标值序列) 可以证明非时齐的复合 Poisson过程是非时齐的独立增量过程 命题17.19非时齐的复合 Poisson过程Y在区间[0,7]上的特征泛函定义为 于是有 Φ1(O=e (17.15) 455

455 i f s d N e if s s ds N if s T s T f Ee e ( ) [ 1 ( )] ( ) ( ) 0 ~ 0 ~ ( ) D - - l ò = ò F = ．（１７．１３） 推论１７．１７ （１） E N N Cov N N u du s t s t ( s t ) ( , ) ( ) 0 ~ ~ l ò Ù = = ． （２） E N N N u du t t t ( t t t ) ( ) 1 2 3 1 2 3 0 ~ ~ ~ l ò Ù Ù = ． （３） = + ò Ù Ù Ù E N N N N u du t t t t ( t t t t ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 0 ~ ~ ~ ~ l ( , ) 1 2 Cov Nt Nt ( , ) + 3 4 Cov Nt Nt ( , ) 1 3 + Cov Nt Nt ( , ) + 2 4 Cov Nt Nt ( , ) 1 4 Cov Nt Nt ( , ) 2 3 Cov Nt Nt ． 证 明 取 ( ) ( ) [0, ] 4 1 f t I t k i t k å J = = ． 将 ~ ( f ) N F 记 为 ( , , ) j J1 L J4 ． 求 (0,0,0,0,) 1 4 4 J J j ¶ ¶ ¶ L ，就得到（３）．其它类似． ［注］ 对于一般未必可微的递增函数 Lt ，还可以推广定义以 Lt 为补偿函数的非时齐的 Poisson 过程 Nt ： 非时齐的独立增量过程， 且对于任意 s < t ，有 t s N N Poisson t - s ~ L -L ． 此时仍有 与（１７．８），（１７．１０），（１７．１１）与（１７．１２）相应的结论． １．５ 非时齐的复合 Poisson 过程及其特征泛函 定义１７.１８ 设Nt 为非时齐的 Poisson 过程，{ } X n 为与之独立的独立同分布随机 变量序列． k N k Yt X t å= = 1 称为非时齐的复合 Poisson 过程．{ } X n 称为赋值随机变量序列（或 标值序列）． 可以证明非时齐的复合 Poisson 过程是非时齐的独立增量过程． 命题１７.１９ 非时齐的复合 Poisson 过程Yt 在区间[0,T ]上的特征泛函定义为 t T i f t dY Y f Ee ( ) 0 ( ) ò F = D ． （１７．１４） 于是有 FY ( f ) = f u u du T e [ ( ( ) 1]) ( ) 0 j - l ò , （１７．１５）

其中q(9)是X1的特征函数:p(9)=Ee 证明与(17.12)类似地有 ∑f(mk)Xk =E∏o(f(n) p(f(u)2(u)du] a(udu) 于是由全期望公式得到 ik2∑ Φ,(f)=Ee f(TAX =PNr=0)+∑E(e IN=nP(N= n 「(x)dm a(u)du) f(u)(u)dul a(u)du) (u )du off(u))2(u)di flo((u-1)( 因为具有相同的特征泛函的两个随机过程的统计性质是一样的,所以命题17.19常 用于由特征泛函的形式来确定一个随机过程是否是非时齐的复合 Poisson过程 例17.20(非时齐的广义 Poisson过程) k 如果赋值随机变量具有离散分布Xn~ 则非时齐的复合 Poisson PI 过程称为非时齐的广义 Poisson过程.此时的特征泛函为 T ∑pe)-1)2()d Φy(f)=e (17.16) 2.与非时齐的复合 Poisson过程相系的 Poisson点过程 1将非时齐复合 Poisson过程表为非时齐 Poisson过程的积分(用时间积分表示) 利用对于非时齐的 Poisson过程的随机积分的定义,立得下述命题 命题17.21(非时齐的复合 Poisson过程的非时齐 Poisson积分表示) 设N为非时齐的 Poisson过程,{Xn}为与之独立的独立同分布随机变量序列.而

456 其中j(J) 是 X1的特征函数: 1 ( ) i X Ee J j J = . 证明 与（１７．１２）类似地有 [ | ) ( ) 1 E e NT n i f k Xk NT k = å= t k k n k i f X Ee ( ) 1 å h = = [ ( ( )] 1 k n k E Õ j f h = = n T n T f u u du u du [ ( ( )) ( ) ] ( ( ) ) 1 0 0 j l l ò ò = ． 于是由全期望公式得到 k k NT k iI k f X Y f Ee ( ) 1 { 1} ( ) å t F = == ³ ( 0) ( | ) ( ) ( ) 1 1 P N E e N n P N n T T i f X n T k k n k = = å = = + = å ¥ = t å ¥ = - + ò = 1 ( ) [1 0 n u du T e l n T n T f u u du u du [ ( ( )) ( ) ] ( ( ) ) 1 0 0 j l l ò ò ] ! ( ( ) ) 0 n u du n T l ò u du f u u du T T e e ( ) ( ( )) ( ) 0 0 l j l ò ò = - f u u du T e [ ( ( ) 1]) ( ) 0 j - l ò = ． 】 因为具有相同的特征泛函的两个随机过程的统计性质是一样的，所以命题１７.１９常 用于由特征泛函的形式来确定一个随机过程是否是非时齐的复合 Poisson 过程． 例１７.２０ （非时齐的广义 Poisson 过程） 如果赋值随机变量具有离散分布 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ L L L L k n p p k X 1 ~ １ ，则非时齐的复合 Poisson 过程称为非时齐的广义 Poisson 过程. 此时的特征泛函为 FY ( f ) = p e u du if u k k k T e [ 1]) ( ) ( ) 1 0 å - l ò ¥ = ． （１７．１６） ２．与非时齐的复合 Poisson 过程相系的 Poisson 点过程 ２．１ 将非时齐复合 Poisson 过程表为非时齐 Poisson 过程的积分（用时间积分表示） 利用对于非时齐的 Poisson 过程的随机积分的定义，立得下述命题. 命题１７．２１ （非时齐的复合 Poisson 过程的非时齐 Poisson 积分表示） 设 Nt 为非时齐的 Poisson 过程，{ } X n 为与之独立的独立同分布随机变量序列．而

Y=∑X是非时齐的复合 Poisson过程,则它有以下的积分表示式 Y=」xdN (17.17) 其中 0(其它) 于是非时齐的复合 Poisson过程的特征泛函也可以写为 了「x,dN,jo((a)4Da)dm (17.15)′ 2.2将非时齐复合 Poisson过程表为 Poisson点过程的积分(用空间积分表示) 我们先讨论简单的情形.对于离散赋值的非时齐的复合 Poisson过程X=∑X X 将过程在时刻t以前取值v的累计次数记为 PI Pk N({v)=集合{,=ν:S≤l中的元素个数 (17.18) 对于固定的值v,N({v)可以看成对于非时齐的 Poisson过程N,的分流.由随机分流定 理可知,M({vk}是强度函数为P()的非时齐 Poisson过程 由非时齐的复合 Poisson过程的定义,直观地可以看出,对于v=V,…,Vkp…, N,({v)是一系列相互独立的非时齐的 Poisson过程.而且有 Y=∑v2N(v} (17.19) 又因为 Poisson过程序列{N,({v)}(v=v1,…,V…)与空间的取值点列{v1…,vk…} 相系,所以称{N,({v)}为 Poisson点过程. Poisson点过程的概念要比 Poisson过程更复 杂,它包含时空两个参数(t,v),而且对于不同的v,作为时间t的随机过程是相互独立的 表达式(17.19)的直观含义是,如果把非时齐的复合 Poisson过程Y看成在时 刻I的总的随机积累,那么它是时刻t前取大小不同的固定值的随机积累的总和 这个思想可以拓广到一般的非时齐的复合 Poisson过程Y,即随机变量X不必局限于 取离散值,而是可以取任意值(甚至可取负值)的情形.这时Y,也可以取任何的值.它在时 刻t前取值于区间(a,b]的次数,是一个随机过程,记之为N,(a,b)(因为H当且仅当在

457 k N k Yt X t å= = 1 是非时齐的复合 Poisson 过程，则它有以下的积分表示式 s s t Yt X dN ~ 0 ò = ， （１７．１７） 其中 î í ì = = ) ( ) ~ ０ （其它 n n s X s X t ．于是非时齐的复合 Poisson 过程的特征泛函也可以写为 t t T i X dN Ee ~ 0 ò = f u u du T e [ ( ( ) 1]) ( ) 0 j - l ò ． （１７．１５）＇ ２．２ 将非时齐复合 Poisson 过程表为 Poisson 点过程的积分（用空间积分表示） 我们先讨论简单的情形．对于离散赋值的非时齐的复合 Poisson 过程 k N k Yt X t å= = 1 . 设 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ L L L L k k n p p v v X 1 1 ~ ．将过程在时刻t 以前取值v 的累计次数记为 Nt ({v}) =集合{Y v : s t} s = £ 中的元素个数. (17. 18） 对于固定的值v ， N ({v}) t 可以看成对于非时齐的 Poisson 过程 Nt 的分流．由随机分流定 理可知, ({ }) t k N v 是强度函数为 p (t) kl 的非时齐 Poisson 过程． 由非时齐的复合 Poisson 过程的定义，直观地可以看出，对于v = v1 ,L, vk ,L ， {N ({v})} t 是一系列相互独立的非时齐的 Poisson 过程．而且有 ({ }) k t k k t Y = å v N v ． （１７．１９） 又因为 Poisson 过程序列{N ({v})} t （v = v1 ,L, vk ,L）与空间的取值点列{ , , , } v1 L vk L 相系，所以称{N ({v})} t 为 Poisson 点过程．Poisson 点过程的概念要比 Poisson 过程更复 杂，它包含时空两个参数(t,v)，而且对于不同的v ，作为时间t 的随机过程是相互独立的． 表达式（１７．１９）的直观含义是，如果把非时齐的复合 Poisson 过程Yt 看成在时 刻t 的总的随机积累，那么它是时刻t 前取大小不同的固定值的随机积累的总和． 这个思想可以拓广到一般的非时齐的复合 Poisson 过程Yt , 即随机变量 Xk 不必局限于 取离散值, 而是可以取任意值(甚至可取负值)的情形．这时Yt 也可以取任何的值．它在时 刻t 前取值于区间(a, b]的次数，是一个随机过程，记之为 N ((a,b]) t （因为Yt 当且仅当在

此非时齐的 Poisson过程N,的事件列τn上跳跃,所以这个次数是一个有限的(但是随机的) 数).它们满足 (P.1)由随机分流定理,M(a,b])是强度为P(X∈(a,b])A(1)的非时齐的 olsson 过程 (P.2)由随机分流定理,若区间(a2,b,](=1,…,m)两两补交,则随机过程 N,(a2,b,])(=1,…,m)是相互独立的 (P.3)对于a<b<c有可加性:N,(a,b])+N,(b,c])=N,(a,c] 再记 N(v)=N(-∞,v]) (17.20) 注意这里的记号N,(v)与前面定义的记号M({v)的含义是不同的 我们将它叙述为如下的略广一些(不仅仅限于非时齐的复合 Poisson过程)的定义, 定义17.22依赖于实数值ν的,正整值随机过程族{N(ν):≥0-∞<ν<∞}, 称为 Poisson点过程,如果对于N,(a,b])=N,(b)-N(a)满足以上的条件(P.2),(P.3), 以及如下的(P.1) (P.1)′存在单调递增函数F(y),使F(-∞)=0且N,(a,b])是强度为 [F(b)-F(a)(1)的非时齐的 Poisson过程 此时F(v)()称为 Poisson点过程的补偿函数 例17.23由非时齐的复合 Poisson过程所定义的随机过程族 N,(v):1≥0-∞<V<∞},是 Poisson点过程,其中N,(v)表示此非时齐的复合 Poisson 过程在时刻t前取值于区间(-∞,y的次数 易见此 Poisson点过程的补偿函数是Fx(v)A(),其中Fx是Xn的分布函数.即 N:(v)=N,(v)-Fx(v)()是(N)鞅 一般地,若 Poisson点过程的补偿函数F(v)(m)满足F(∞)-F(-∞)=C<∞,则存 在以C(1)为强度函数的非时齐的 Poisson过程,及对应于赋值随机变量xn的分布函数为 Fx.(v)=F(v)的非时齐的复合 Poisson过程,使此 Poisson点过程由此非时齐的复合 458

458 此非时齐的 Poisson 过程Nt 的事件列 n t 上跳跃，所以这个次数是一个有限的（但是随机的） 数）．它们满足 （P．１）由随机分流定理， N ((a,b]) t 是强度为 P(X Î (a,b])l(t) 的非时齐的 Poisson 过程． （P．２）由随机分流定理，若区间 (a ,b ] (i 1, ,m) i i = L 两两补交，则随机过程 N ((a ,b ]) (i 1, ,m) t i i = L 是相互独立的． （P．３） 对于a < b < c有可加性： N ((a,b]) N ((b, c]) N ((a,c]) t + t = t ． 再记 N (v) N (( ,v]) t = t -¥ D ． （１７．２０） 注意 这里的记号N (v) t 与前面定义的记号 N ({v}) t 的含义是不同的. 我们将它叙述为如下的略广一些（不仅仅限于非时齐的复合 Poisson 过程）的定义. 定义１７．２２ 依赖于实数值v 的,正整值随机过程族{N (v) : t ³ 0,-¥ < v < ¥} t ， 称为 Poisson 点过程，如果对于N ((a,b]) N (b) N (a) t = t - t D 满足以上的条件（P.2），（P.3）， 以及如下的(P.1)’: （ P.1 ）＇ 存在单调递增函数 F(v) ， 使 F(-¥) = 0 且 N ((a,b]) t 是强度为 [F(b) - F(a)]l(t)的非时齐的 Poisson 过程． 此时 F(v)l(t) 称为 Poisson 点过程的补偿函数． 例 １ ７ ． ２ ３ 由非时齐的 复 合 Poisson 过程所定义的随机过程族 {N (v) : t ³ 0,-¥ < v < ¥} t ，是 Poisson 点过程，其中 N (v) t 表示此非时齐的复合 Poisson 过程在时刻t 前取值于区间(-¥, v] 的次数． 易见此 Poisson 点过程的补偿函数是 F (v) (t) X l ，其中 FX 是 Xn 的分布函数．即 ( ) ( ) ( ) ( ) ~ N v N v F v t t X t = - l 是( ) Nt 鞅． 一般地，若 Poisson 点过程的补偿函数 F(v)l(t) 满足 F(¥) - F(-¥) = C < ¥ ，则存 在以Cl(t) 为强度函数的非时齐的 Poisson 过程,及对应于赋值随机变量 Xn 的分布函数为 ( ) 1 ( ) F v C F v def Xn = 的非时齐的复合 Poisson 过程，使此 Poisson 点过程由此非时齐的复合