《高等数学》上伊教案 第五章定积分 已知变速直线运动的质点的速度为v=),由引例2，从时刻a到时刻b质点走过的路程： s=∫)d: 如果已知质点的路程函数为s=s),则从时刻a到时刻b质点走过的路程 s=s(b)-s(a): 即∫0)d=s(b)-s(@):又s)是)的一个原函数即s')=)。表明，)在[a,b上的 定积分恰好等于其原函数s)在区间[a,b]上的增量。问题：在什么条件下，下面等式成立？ ∫fxt=Fb)-Fa)（F'(x)=fx),x∈[a,b) 定理1、设函数fx)在区间[a,上连续，且F(x)=f(x),则 ∫fx)=Fb)-Fa)“牛顿“菜布尼蓝(wL)公式 注：为了计算中书写方便，通常将NL公式写作：∫f(x)=Fx北=Fb)-F(a) 例1.利用NL公式，计算下列定积分 1.ie-or-or点-r 2.o)- -g时 7=+6-h--6-f-月-2 4.∫g==叶-叶d=-l 5.∫值-cos2x=值V2sin2x=v2 sin=2可°sinx+sin xd =V2(-cosx/+2(osx儿%=2+反=2反 二.NL的证明 1.积分上限的函数 中丁山=号，记-号，则)-可且p=,表明治好是孩积西数的原 第24页一共6页 惠衣安
《高等数学》上册教案第五章定积分 函数。一般，若心)在区间a,上连续，)=f)h“称为积分上限浅变上限的函数。 定理2、设禹数f八)在区间[a,小上连续，则积分上限函数)=0)dt,x∈a,是被积函 数fx)在区间[a,b]上的一个原函数，即o(x)=fx),x∈[a,b小 证：△p=r+A)-)=∫i"f0)dt-if0dt =f0t+∫fu0ad0-∫/odt=∫f0d=f传ax(其中，5∈k,x+A) 0典是奥G 注：①定理2也称为原函数存在性定理，表明积分上限函数()是被积函数fx)的原函数： ②g-,或8=f.即f0dy=.支r0h=f因： dx 2.证明NL公式 函数)在区间a,上连续，且F')=f),则：∫=F)-Fa 证：设F)是f)在区间la,上的任意一个原函数，则F)=f:又对于()=∫0)dh, 有ox)=fx),则px)-Fx)=c,或x)=Fx)+c,从而，∫f)h=F(x)+c,xe[a,b。 取x=a:∫fu)dh=F(a+c,即Fa)+c=0,c=-F(a: 取x=b:∫f)d=F(b)+e,即∫f)dh=F(b+c=Fb)-F(a). 三，关于积分上限函数的运算 1.jf0ay=f,浅∫f0t= 例2.设x)=∫sinP'dt,求导数p(x). 解：p(x)=sinr2 倒3.设k)=∫m产山，求导数x,p受 解：o)=sm产d=-sin Pdr,故p)=-sinF,p=-l 第24项一共7页 泰衣安
《高等数学)上册教案 第五章定积分 培 例5.设50r+40=f0)h,求f)及c。 解：两边求导数：150x2=fx),则，50x+40=∫150rdh=50r=50x-50c, 0,c=得 2.如果)=”f0h,则)=。f0dy=fx%. 倒6.求函数)=sind的导数。 解：pr)=sin rdry=sinF.(rj=2 xsin|xl 创7.泰∫o. 解：因为，∫cos=cosP+od=-cosfd+os 故，孟=oarh+orh -odky-kj+es--2xcsr+2os 发广 创9.已知，e+小广cow恤=0，求盘 解：注意到y是x的高载，两边对x求子，得ey+cos2x2=0,求得安-广-2ecos2。 例10.设g(x)处处连续，f)=∫(x-1g0)h,求f(x,f(x)。 第24项一共8页 惠衣安