在一般情况下若一个由n个质点组成的质点系,受 s个定常的完整约束则系统具有k=2n-s个自由度如 以q1q2,qk表示所选定的广义坐标,则质点系中任一 质点M的直角坐标可以表示为广义坐标的函数 x:=x;(q12q2,,9k) y=y(q192.9k (i=1,2,,n) 显然质点M的矢径r也可表示为广义坐标的函数 ri=r(q1,2,., 9k) 11
11 在一般情况下,若一个由n个质点组成的质点系,受 s个定常的完整约束,则系统具有k = 2n - s个自由度.如 以q1,q2,…,qk 表示所选定的广义坐标,则质点系中任一 质点Mi的直角坐标可以表示为广义坐标的函数. x i= xi (q1 ,q2 ,…,qk ) yi = yi (q1 ,q2 ,…,qk ) (i =1,2,…,n) ri =ri (q1 ,q2 ,…,qk ) (i =1,2,…,n) 显然质点Mi的矢径ri也可表示为广义坐标的函数
例题15-5.分别确定下列结构的自由度和广义坐标 (1)长为l的刚杆.(2)用三根长为l的刚杆铰接的三角 形结构(3)用四根长为l的刚杆铰接的四边形结构 解:(1)约束方程为 (xxB)2+(yx-yB)2=12 B 自由度为: A k=2×2-1=3 广义坐标为:x,y,0 CA=+ yI rB=(x+l cos0)i+(+ l sine)j 12
12 例题15-5. 分别确定下列结构的自由度和广义坐标. (1)长为l 的刚杆. (2)用三根长为 l 的刚杆铰接的三角 形结构.(3)用四根长为 l 的刚杆铰接的四边形结构. 解: x y A B (1)约束方程为 (xA-xB) 2+(yA-yB) 2 = l 2 自由度为: k=22 -1 = 3 广义坐标为: x , y , rA = x i + y j rB = (x + l cos) i + (y + l sin) j x y
(2)约束方程为 (xAXB)+VA-DB=7 (xc)2+(y4-yz)2=12 (xB-xC+(B-DC)=l 自由度为:k=2×3-3=3 广义坐标为:x,y,0 rA=xI+yi rB=(x+l cose)i+(+l sine)j rc=lx+l cos(0+60] i+y+ l sin(0+60)Ij 显然用三根长为l的刚杆铰接的三角形结构可 以视为一根刚杆
13 (2)约束方程为 (xA-xB) 2+(yA-yB) 2 = l 2 (xA-xC) 2+(yA-yC) 2 = l 2 (xB-xC) 2+(yB-yC) 2 = l 2 自由度为: k = 23 -3 = 3 广义坐标为: x , y , rA = x i + y j rB = (x + l cos) i + (y + l sin) j rC = [x + l cos(+60o )] i + [y + l sin(+60o )] j 显然用三根长为 l 的刚杆铰接的三角形结构可 以视为一根刚杆. x y A B C x y
(3)约束方程为 rx)+(yxy)2=12 D (xrxn)2+(y4-y)2=12 B (x-xc)2+yc)2=12 (xC-x)2+(yc-y)2=12 x x 自由度为k=2×44=4广义坐标为x、y、0、q A =xi+yj rB=(+l cos0)i+(+I sine) j rc=x+l(cose -sino l i+ ly+/(sine+coso)]j rD=(r-l sin )i+ (+l coop )j 14
14 (3)约束方程为 (xA-xB) 2+(yA-yB) 2 = l 2 (xA-xD) 2+(yA-yD) 2 = l 2 (xB-xC) 2+(yB-yC) 2 = l 2 自由度为: k =24 -4 = 4 广义坐标为:x、y、、 rA = x i + y j rB = (x + l cos) i + (y + l sin) j rC = [x + l (cos - sin)] i + [y + l (sin+cos)] j (xC-xD) 2+(yC-yD) 2 = l 2 rD = (x - l sin) i + (y + l cos) j x y A B C D x y
三虚位移与虚功 (1)虚位移 质点或质点系在给定瞬时,为约束所容许的任何微 小的位移称为质点或质点系的虚位移记为δr 虚位移只是一个几何概念,它完全由约束的性质及 其限制的条件所决定它只是约束所容许的可能发生 而实际不一定发生的位移,它与作用力无关,与时间无 关它可以有多种不同的方向,它必须是微小量 实位移是质点或质点系在力的作用下在一定时 间隔内实际发生的位移它有确定的方向,它可以是微 小量,也可以是有限量 15
15 三.虚位移与虚功 (1)虚位移 质点或质点系在给定瞬时,为约束所容许的任何微 小的位移,称为质点或质点系的虚位移.记为r. 虚位移只是一个几何概念,它完全由约束的性质及 其限制的条件所决定.它只是约束所容许的可能发生 而实际不一定发生的位移,它与作用力无关,与时间无 关.它可以有多种不同的方向,它必须是微小量. 实位移是质点或质点系在力的作用下,在一定时间 间隔内实际发生的位移.它有确定的方向,它可以是微 小量,也可以是有限量