教师备课系统多媒体教案 棱为AB、面分别为a、B的 二面角记作二面角a-AB-B 有时为了方便,也可在a,B内(棱 以外的半平面部分)分别取点P Q,将这个二面角记作二面角P AB-Q.如果棱记作l,那么这个二 面角记作二面角a-1-B或P 通过实 0 2.二面角的平面角 养学生 学习兴 探索 趣和探 新知 索意 识,加 深对知 如图(1)在二面角a-1-B的棱 识的理 上任取一点O,以点O为垂足, 解与掌 在半平面a和B内分别作垂直于 棱l的射线O4和OB,则射线OA 和OB构成的∠AOB叫做二面角 的平面角 (2)二面角的平面角的大小 与O点位置无关 (3)二面角的平面角的范围 是[0,1809] (4)平面角为直角的二面角 叫做直二面角 探索 五、平面与平面垂直 学生自学,教师点拨一下培养学 新知 1.平面与平面垂直的定义,注意事项 生自学 记法与画法 师:以教室的门为例,由能力 一般地,两个平面相交,如果于门框木柱与地面垂直,那么通过实 它们所成的二面角是直二面角,就经过木柱的门无论转到什么验,培 说这两个平面互相垂直 位置都有门面垂直于地面,即养学生 a⊥B,请同学给出面面垂直观察能 的判定定理
教师备课系统──多媒体教案 6 探索 新知 棱为 AB、面分别为 、 的 二面角记作二面角 − − AB . 有时为了方便，也可在 , 内（棱 以外的半平面部分）分别取点 P、 Q，将这个二面角记作二面角 P – AB – Q.如果棱记作 l，那么这个二 面角记作二面角 − −l 或 P – l – Q. 2．二面角的平面角 如图（1）在二面角 − −l 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足， 在半平面 和 内分别作垂直于 棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角 的平面角. （2）二面角的平面角的大小 与 O 点位置无关. （3）二面角的平面角的范围 是[0，180°] （4）平面角为直角的二面角 叫做直二面角. 通过实 验，培 养学生 学习兴 趣和探 索意 识，加 深对知 识的理 解与掌 握. 探索 新知 五、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的定义， 记法与画法. 一般地，两个平面相交，如果 它们所成的二面角是直二面角，就 说这两个平面互相垂直. 学生自学，教师点拨一下 注意事项. 师：以教室的门为例，由 于门框木柱与地面垂直，那么 经过木柱的门无论转到什么 位置都有门面垂直于地面，即 ⊥ ，请同学给出面面垂直 的判定定理. 培养学 生自学 能力， 通过实 验，培 养学生 观察能 力．
人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 续上表 两个互相垂直的平面通常画成此图 的样子,此时,把直立平面的竖边画成与 水平平面的横边垂直.平面a与B垂直, 记作a⊥B 典例 剖析 2.两个平面互相垂直的判定定理, 个平面过另一个平面的垂线,则这两个 平面垂直 例3如图,AB是⊙O的直径,P师:平面与平 巩固 垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同面垂直的判定方法所学知 于A、B的任意一点,求证:平面PC⊥有面面垂直的定义识,培养 平面PBC. 和面面垂直的判定学生观察 【证明】设⊙O所在平面为a,由已定理,而本题二面能力,空 知条件, 角A-PC-B的平间想象能 PA⊥a, 面角不好找,故应力,书写 在a内 选择判定定理,而表达能 典例\⊥BC 所以PA 应用判定定理证面力 分析 面垂直的关键是在 因为点C 其中一个平面内 是圆周上不同于A、B的任意一点,AB找(作)一条直线 是⊙O的直径 与另一平面垂直, 所以,∠BCA是直角,即BC⊥AC.在已有图形中BC 又因为PA与AC是△PAC所在平面内符合解题要求,为 的两条直线 什么? 所以BC⊥平面PAC 学生分析,教 又因为BC在平面PBC内, 师板书 所以,平面PAC⊥平面PBC 1.直线和平面垂直的定义判定 回顾、反 2.直线和平面所成的角定义与解答 思、归纳, 小结步骤、完善 学生总结、教师补提高自我 3.线线垂直→线面垂直 充完善 整合知识 4.二面角的定义画法与记法 的能力 5.面面垂直的判定方法
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 7 续上表 典例 剖析 两个互相垂直的平面通常画成此图 的样子，此时，把直立平面的竖边画成与 水平平面的横边垂直.平面 与 垂直， 记作 ⊥ . 2．两个平面互相垂直的判定定理， 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直. 典例 分析 例 3 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同 于 A、B 的任意一点，求证：平面 PAC⊥ 平面 PBC. 【证明】设⊙O 所在平面为 ，由已 知条件， PA⊥ ， BC 在 内， 所 以 PA ⊥BC. 因为点 C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点，AB 是⊙O 的直径， 所以，∠BCA 是直角，即 BC⊥AC. 又因为PA 与AC是△PAC所在平面内 的两条直线. 所以 BC⊥平面 PAC. 又因为 BC 在平面 PBC 内， 所以，平面 PAC⊥平面 PBC. 师：平面与平 面垂直的判定方法 有面面垂直的定义 和面面垂直的判定 定理，而本题二面 角 A – PC – B 的平 面角不好找，故应 选择判定定理，而 应用判定定理证面 面垂直的关键是在 其中一个平面内 找 （作）一条直线 与另一平面垂直， 在已有图形中 BC 符合解题要求，为 什么？ 学生分析，教 师板书． 巩 固 所学知 识，培养 学生观察 能力，空 间想象能 力，书写 表达能 力. 小结 1．直线和平面垂直的定义判定． 2．直线和平面所成的角定义与解答 步骤、完善. 3．线线垂直 线面垂直． 4．二面角的定义画法与记法. 5．面面垂直的判定方法. 学生总结、教师补 充完善． 回顾、反 思、归纳， 提高自我 整合知识 的能力．
教师备课系统多媒体教案 课堂作业 如图,在三棱锥ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:B⊥AC 2.过△ABC所在平面a外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC (1)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是AB边的 (2)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的心 (3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的心 3.两条直线和一个平面所成的角相等,这两条直线一定平行吗? 4.如图,直四棱柱A'BCD′-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中 底面四边形ABCD满足什么条件时,AC⊥BD? 5.如图,正方形SG1GG3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点 现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G, G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S一EFG中必有() A.SG⊥EFG所在平面 B.SD⊥EFG所在平面 C.GF⊥SEF所在平面 D.GD⊥SEF所在平面 6.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么? 参考答案 2.(1)中点;(2)外;(3)垂. 3.不一定平行 4.AC⊥BD. 5.A 6.面ABC⊥面BCD,面ABD⊥面BCD,面ACD⊥面ABC
教师备课系统──多媒体教案 8 课堂作业 1．如图，在三棱锥 V–ABC 中，VA = VC，AB = BC，求证：VB⊥AC. 2．过△ABC 所在平面 外一点 P，作 PO⊥ ，垂足为 O，连接 PA ，PB，PC. （1）若 PA= PB = PC，∠C =90°，则点 O 是 AB 边的 . （2）若 PA = PB =PC，则点 O 是△ABC 的 心. （3）若 P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点 O 是△ABC 的 心. 3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？ 4．如图，直四棱柱 A′B′C′D′ – ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中， 底面四边形 ABCD 满足什么条件时，A′C⊥B′D′？ 5．如图，正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2，G2G3 的中点，D 是 EF 的中点， 现在沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2， G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S – EFG中必有（ ）． A．SG⊥EFG 所在平面 B．SD⊥EFG 所在平面 C．GF⊥SEF 所在平面 D．GD⊥SEF 所在平面 6．如图，已知 AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？ 参考答案： 1．略 2.（1）中点； （2）外； （3）垂． 3. 不一定平行. 4．AC⊥BD. 5. A 6. 面 ABC⊥面 BCD，面 ABD⊥面 BCD，面 ACD⊥面 ABC
人教版新课标普通高中◎数学2必修(A版) 第2课时 教学内容:2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质 教学目标 、知识与技能 1.掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理 2.能运用性质定理解决一些简单问题; 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系 二、过程与方法 在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识. 三、情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”,形成空间概念、空间想象能力以及逻辑 推理能力 教学重点、难点 教学重点:两个性质定理的证明 教学难点:两个性质定理的证明 教学关键:引导学生掌握两个性质定理的证明,并且能够应用两个性质定理来证明 较简单的线线垂直、线面垂直及面面垂直的相关问题 教学突破方法:本节主要使用启发式和探究式教学.使学生掌握两个性质定理的条 件及结论,知道如何应用两个性质定理,在教师的示例引导下,在具体的解题过程中对 两个定理进行巩固和提高 教法与学法导航 教学方法:问题教学法,练习法,启发式教学,通过提出问题,学生思考并体会在 线面垂直、面面垂直的条件下,可以得到什么结论,与上节的判定定理相对照.在理解 两个定理的基础上,进行有针对性的练习 学习方法:自主探究,自主学习,互动学习,合作交流,动手实践,归纳总结 教学准备 教师准备:多媒体课件(用于展示问题,引导讨论,出示答案 学生准备:直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理 教学过程 教学 教学内容 设计 师生互动 过程 意图 问题1:判定直线和平面垂直 新课|的方法有几种? 师投影问题.学生思复习巩 导入 问题2:若一条直线和一个平考、讨论问题,教师点出主 面垂直,可得到什么结论?若两题 旧带 条直线与同一个平面垂直呢?
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版） 9 第 2 课时 教学内容：2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 教学目标 一、知识与技能 1. 掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； 2. 能运用性质定理解决一些简单问题； 3. 了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 二、过程与方法 在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识． 三、情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”，形成空间概念、空间想象能力以及逻辑 推理能力. 教学重点、难点 教学重点：两个性质定理的证明. 教学难点：两个性质定理的证明. 教学关键：引导学生掌握两个性质定理的证明，并且能够应用两个性质定理来证明 较简单的线线垂直、线面垂直及面面垂直的相关问题. 教学突破方法：本节主要使用启发式和探究式教学．使学生掌握两个性质定理的条 件及结论，知道如何应用两个性质定理，在教师的示例引导下，在具体的解题过程中对 两个定理进行巩固和提高. 教法与学法导航 教学方法：问题教学法，练习法，启发式教学．通过提出问题，学生思考并体会在 线面垂直、面面垂直的条件下，可以得到什么结论，与上节的判定定理相对照．在理解 两个定理的基础上，进行有针对性的练习. 学习方法：自主探究，自主学习，互动学习，合作交流，动手实践，归纳总结. 教学准备 教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）. 学生准备：直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理. 教学过程 教 学 过程 教学内容 师生互动 设计 意图 新课 导入 问题 1：判定直线和平面垂直 的方法有几种？ 问题 2：若一条直线和一个平 面垂直，可得到什么结论？若两 条直线与同一个平面垂直呢？ 师 投 影问 题 . 学生思 考、讨论问题，教师点出主 题． 复习巩 固，以 旧 带 新
教师备课系统多媒体教案 续上表 直线与平面垂直的性质定生:借助长方体模型借助模 理 A、BB、CC、DD所在直型教 问题:已知直线a、b和平线都垂直于平面ABCD,它们学,培 面a,如果a⊥ab⊥a,那么直线之间相互平行,所以结论成养几何 a、b一定平行吗? 直观能 已知a⊥a,b⊥a, 师:怎么证明呢?由于力,反 求证:b∥a. 无法把两条直线a、b归入到证法证 一个平面内,故无法应用平题是 行直线的判定知识,也无法个难 应用公理4,在这种情况下,点,采 我们采用“反证法” 用以教 师生边分析边板书 师为 探索 【证明】假定b不平行于a,设 主,能 新知 b∩a=O, 起到 b是经过O与直线a平行的直 个示范 作用 ∥b,a⊥ 并提高 上课效 即经过同一点O的两线b、b 都与α垂直这是不可能的 因此b∥a 2.直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 简化为:线面垂直→线线平行 平面与平面垂直的性质定教师投影问题,学生思 考、观察、讨论,然后回答本 1.问题 问题 例题的 黑板所在平面与地面所在平面生:借助长方体模型,难点是 垂直,你能否在黑板上画一条直线在长方体ABCD-ABCD构造辅 与地面垂直? 中,面AADD⊥面ABCD,AA助线 探索 ⊥AD,AB⊥A'A 新知 采用分 ∴AD∩AA=A, 析综合 AA⊥面ABCD 法能较 故只需在黑板上作一直好地解 线与两个平面的交线垂直即决这个 问题
教师备课系统──多媒体教案 10 续上表 探索 新知 一、直线与平面垂直的性质定 理 1．问题：已知直线 a、b 和平 面 ，如果 a b ⊥ ⊥ , ，那么直线 a、b 一定平行吗？ 已知 a⊥a，b⊥a， 求证：b∥a. 【证明】假定 b 不平行于 a，设 b =O， b′是经过 O 与直线 a 平行的直 线， ∵ a∥b′，a⊥a， ∴ b′⊥a， 即经过同一点 O 的两线 b、b′ 都与 垂直这是不可能的， 因此 b∥a. 2．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行． 简化为：线面垂直 线线平行． 生 ： 借助 长方 体 模 型 AA′、BB′、CC′、DD′所在直 线都垂直于平面 ABCD，它们 之间相互平行，所以结论成 立. 师：怎么证明呢？由于 无法把两条直线 a、b 归入到 一个平面内，故无法应用平 行直线的判定知识，也无法 应用公理 4，在这种情况下， 我们采用“反证法”． 师生边分析边板书． 借助模 型 教 学，培 养几何 直观能 力，反 证法证 题是一 个 难 点，采 用以教 师 为 主，能 起到一 个示范 作用， 并提高 上课效 率. 探索 新知 二、平面与平面垂直的性质定 理 1．问题 黑板所在平面与地面所在平面 垂直，你能否在黑板上画一条直线 与地面垂直？ 教师投影问题，学生思 考、观察、讨论，然后回答 问题． 生：借助长方体模型， 在长方体 ABCD – A′B′C′D′ 中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A ⊥AD，AB⊥A′A， ∵ AD A A A = ， ∴A′A⊥面 ABCD． 故只需在黑板上作一直 线与两个平面的交线垂直即 可. 本 例题的 难点是 构造辅 助线， 采用分 析综合 法能较 好地解 决这个 问题