人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程习题(2)

第四章圆与方程 §41圆的方程 411圆的标准方程 、基础过关 1.(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为 A.(-1,2),2 B 2.点P(m25)与圆x2+y2=24的位置关系是 A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.不确定 3.圆的一条直径的两个端点是(2,0),(2,-2),则此圆的方程是 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x+2)2+(y+1)2=1 .圆(x-1)+y2=1的圆心到直线y=2x的距离为 B 5.圆O的方程为(x-32+(-4)2=25,点(2,3)到圆上的最大距离为 6.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是 7.求满足下列条件的圆的方程 (1)经过点P(5,1),圆心为点C8,-3) (2)经过点P(4,2),Q(-6,-2),且圆心在y轴上 8.求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线3x+10y+9=0上的圆的方程 、能力提升 9.方程y=√9-x2表示的曲线是 A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 10.若直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1l.如果直线l将圆(x-1)2+(y-2)2=5平分且不通过第四象限,那么l的斜率的取值范围是 2.平面直角坐标系中有A(O,1),B(2,1),C(3,4),D-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上? 为什么? 三、探究与拓展 3.已知点A(-2,-2),B(-2,6),((4,-2),点P在圆x2+y2=4上运动,求PP+PB |PC的最值

第四章 圆与方程 §4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 一、基础过关 1．(x＋1) 2＋(y－2) 2＝4 的圆心与半径分别为 ( ) A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4 2．点 P(m2,5)与圆 x 2＋y 2＝24 的位置关系是 ( ) A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是 ( ) A．(x－2) 2＋(y－1) 2＝1 B．(x－2) 2＋(y＋1) 2＝1 C．(x＋2) 2＋(y－1) 2＝1 D．(x＋2) 2＋(y＋1) 2＝1 4．圆(x－1) 2＋y 2＝1 的圆心到直线 y＝ 3 3 x 的距离为 ( ) A.1 2 B. 3 2 C．1 D. 3 5．圆 O 的方程为(x－3) 2＋(y－4) 2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 6．圆(x－3) 2＋(y＋1) 2＝1 关于直线 x＋2y－3＝0 对称的圆的方程是________________． 7．求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点 P(5,1)，圆心为点 C(8，－3)； (2)经过点 P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在 y 轴上． 8．求经过 A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线 3x＋10y＋9＝0 上的圆的方程． 二、能力提升 9．方程 y＝ 9－x 2表示的曲线是 ( ) A．一条射线 B．一个圆 C．两条射线 D．半个圆 10．若直线 y＝ax＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x＋a) 2＋(y＋b) 2＝1 的圆心位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．如果直线 l 将圆(x－1) 2＋(y－2) 2＝5 平分且不通过第四象限，那么 l 的斜率的取值范围是 ________． 12．平面直角坐标系中有 A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？ 为什么？ 三、探究与拓展 13．已知点 A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点 P 在圆 x 2＋y 2＝4 上运动，求|PA| 2＋|PB| 2 ＋|PC| 2 的最值．

答案 A 2 B 3B 4. A 5.5+√2 7.解(1)圆的半径r=CP=V5-8)2+(+32=5 圆心为点C(8,一3), ∴圆的方程为(x-8)2+(+3)2=2 (2)设所求圆的方程是x2+(y-b)2=2 ∴点P、Q在所求圆上,依题意有 16+(2一b)2=r2 36+(2+b2=p2, 所求圆的方程是 145 8.解由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x+2y-15=0, 3x+2y-15=0 3x+10y+9=0 解得/=, ∴圆心C(7,一3),半径r=C= 所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2 9.D10.D 11.[o,2] 12.解能.设过A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的方程为(x-a)2+(-b)2=2 将A,B,C三点的坐标分别代入有 a2+(1-b)2=r2 (2-a)2+(1-b)2=r2, (3-a)2+(4-b)2 解得{b=3, ∴圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5 将D(-1,2)代入上式圆的方程,得 (-1-1)2+(2-3)2=4+1=5 即D点坐标适合此圆的方程 故A,B,C,D四点在同一圆上 13.解设P(x,y),则x2+y2=4

答案 1．A 2.B 3.B 4．A 5．5＋ 2 6.    x－ 19 5 2＋    y－ 3 5 2＝1 7．解 (1)圆的半径 r＝|CP|＝ (5－8) 2＋(1＋3) 2＝5， 圆心为点 C(8，－3)， ∴圆的方程为(x－8) 2＋(y＋3) 2＝25. (2)设所求圆的方程是 x 2＋(y－b) 2＝r 2 . ∵点 P、Q 在所求圆上，依题意有    16＋(2－b) 2＝r 2， 36＋(2＋b) 2＝r 2， ⇒   r 2＝ 145 4 ， b＝－ 5 2 . ∴所求圆的方程是 x 2＋    y＋ 5 2 2＝ 145 4 . 8．解 由题意知线段 AB 的垂直平分线方程为 3x＋2y－15＝0， ∴由    3x＋2y－15＝0， 3x＋10y＋9＝0 ， 解得    x＝7， y＝－3. ∴圆心 C(7，－3)，半径 r＝|AC|＝ 65. ∴所求圆的方程为(x－7) 2＋(y＋3) 2＝65. 9．D 10.D 11．[0,2] 12．解 能．设过 A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a) 2＋(y－b) 2＝r 2 . 将 A，B，C 三点的坐标分别代入有     a 2＋(1－b) 2＝r 2， (2－a) 2＋(1－b) 2＝r 2， (3－a) 2＋(4－b) 2＝r 2， 解得     a＝1， b＝3， r＝ 5. ∴圆的方程为(x－1) 2＋(y－3) 2＝5. 将 D(－1,2)代入上式圆的方程，得 (－1－1) 2＋(2－3) 2＝4＋1＝5， 即 D 点坐标适合此圆的方程． 故 A，B，C，D 四点在同一圆上． 13．解 设 P(x，y)，则 x 2＋y 2＝4

P42+PB+PCF=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2) 4y+68=80-4 72≤P4P2+|PB2+|PCP≤88 即P4+|PB+PC的最大值为88,最小值为72 412圆的一般方程 基础过关 1.方程x2+y2-x+y+m=0表示一个圆,则m的取值范围是 A.m≤2 C.m<2 2.设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则AB等于 B 3.M(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点,过M点最长的弦所在的直线方程是() B.x-y-3=0 4.已知圆x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(0<a<1),则原点O在 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 5.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为 6.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点 都在圆C上,则a= 7.已知圆的方程为x2+y2-6x-6y+14=0,求过点A(-3,-5)的直线交圆的弦PQ的中 点M的轨迹方程 求经过两点A(4,2)、B(-1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程 、能力提升 9.若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等,则圆心M的轨迹方程是 x J B. x+y=0 C.x2+y2=0 D.x2-y2=0 10.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之 差最大,则该直线的方程为 B.y-1=0 C. xy=o D.x+3y-4=0 11.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和 BD,则四边形ABCD的面积为 12.求一个动点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(,0连线的中点M的轨迹方程 探究与拓展 13.已知一圆过P(4,-2)、Q-1,两点,且在y轴上截得的线段长为43,求圆的方程

|PA| 2＋|PB| 2＋|PC| 2＝(x＋2) 2＋(y＋2) 2＋(x＋2) 2＋(y－6) 2＋(x－4) 2＋(y＋2) 2＝3(x 2＋y 2 )－ 4y＋68＝80－4y. ∵－2≤y≤2， ∴72≤|PA| 2＋|PB| 2＋|PC| 2≤88. 即|PA| 2＋|PB| 2＋|PC| 2 的最大值为 88，最小值为 72. 4.1.2 圆的一般方程 一、基础过关 1．方程 x 2＋y 2－x＋y＋m＝0 表示一个圆，则 m 的取值范围是 ( ) A．m≤2 B．m＜ 1 2 C．m＜2 D．m≤ 1 2 2．设 A，B 为直线 y＝x 与圆 x 2＋y 2＝1 的两个交点，则|AB|等于 ( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2 3．M(3,0)是圆 x 2＋y 2－8x－2y＋10＝0 内一点，过 M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0 4．已知圆 x 2＋y 2－2ax－2y＋(a－1) 2＝0(0<a<1)，则原点 O 在 ( ) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 5．如果圆的方程为 x 2＋y 2＋kx＋2y＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆 C：x 2＋y 2＋2x＋ay－3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线 l：x－y＋2＝0 的对称点 都在圆 C 上，则 a＝________. 7．已知圆的方程为 x 2＋y 2－6x－6y＋14＝0，求过点 A(－3，－5)的直线交圆的弦 PQ 的中 点 M 的轨迹方程． 8．求经过两点 A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为 2 的圆的方程． 二、能力提升 9．若圆 M 在 x 轴与 y 轴上截得的弦长总相等，则圆心 M 的轨迹方程是 ( ) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x 2＋y 2＝0 D．x 2－y 2＝0 10．过点 P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之 差最大，则该直线的方程为 ( ) A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0 11． 已知圆的方程为 x 2＋y 2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为________． 12．求一个动点 P 在圆 x 2＋y 2＝1 上移动时，它与定点 A(3,0)连线的中点 M 的轨迹方程． 三、探究与拓展 13．已知一圆过 P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3，求圆的方程．

答案 7.解设所求轨迹上任一点M(x,y),圆的方程可化为(x-3)2+(y-3 4圆心C(3,3) ∴ kcyk=-1 即x2 所求轨迹方程为x2+(y+1)2=25(已知圆内的部分) 8.解设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 令y=0,得x2+Dx+F=0, 所以圆在x轴上的截距之和为x+x=-D 令x=0,得y2+Ey+F=0 所以圆在y轴上的截距之和为y+y2=-E; 由题设,得x1+x2+y+y2=-(D+E)=2,所以D+E=-2① 又A(4.2)、B(-1,3)两点在圆上 所以16+4+4D+2E+F=0,② 由①②③可得D=-2,E=0,F=-12 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0 9.D10.A 2.解设点M的坐标是(x,y),点P的坐标是(x0,0) 由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点 3 所以 于是有 因为点P在圆x2+y2=1上移动, 所以点P的坐标满足方程x+y6=1, 则(2x-3)2+4y2=1,整理 得 所以点M的轨方程为(-+y=4

答案 1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－2 7．解 设所求轨迹上任一点 M(x，y)，圆的方程可化为(x－3) 2＋(y－3) 2 ＝4.圆心 C(3,3)． ∵CM⊥AM， ∴kCM·kAM＝－1， 即 y－3 x－3 · y＋5 x＋3 ＝－1， 即 x 2＋(y＋1) 2＝25. ∴所求轨迹方程为 x 2＋(y＋1) 2＝25(已知圆内的部分)． 8．解 设圆的一般方程为 x 2＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令 y＝0，得 x 2＋Dx＋F＝0， 所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1＋x2＝－D； 令 x＝0，得 y 2＋Ey＋F＝0， 所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1＋y2＝－E； 由题设，得 x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以 D＋E＝－2.① 又 A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上， 所以 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，② 1＋9－D＋3E＋F＝0，③ 由①②③可得 D＝－2，E＝0，F＝－12， 故所求圆的方程为 x 2＋y 2－2x－12＝0. 9．D 10．A 12．解 设点 M 的坐标是(x，y)，点 P 的坐标是(x0，y0)． 由于点 A 的坐标为(3,0)且 M 是线段 AP 的中点， 所以 x＝ x0＋3 2 ，y＝ y0 2 ， 于是有 x0＝2x－3，y0＝2y. 因为点 P 在圆 x 2＋y 2＝1 上移动， 所以点 P 的坐标满足方程 x 2 0＋y 2 0＝1， 则(2x－3) 2＋4y 2＝1，整理得    x－ 3 2 2＋y 2＝ 1 4 . 所以点 M 的轨迹方程为    x－ 3 2 2＋y 2＝ 1 4

13.解设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,① 将P、Q的坐标分别代入①, 4D-2E+F=-2 D-3E-F=10③ 令x=0,由①得y2+Ey+F=0,④ 由已知-y=43,其中y,p2是方程④的两根 (-y2)2=(v+y2)2-4yy2 =E2-4F=48⑤ 解②③⑤联立成的方程组 D=-2 得E=0或E=-8 F=-12 F=4 故所求方程为:x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0 §4.2直线、圆的位置关系 421直线与圆的位置关系 、基础过关 1.直线3x+4y+12=0与圆(x+1)2+(y+1)2=9的位置关系是 A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交 2.直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分,且与直线x+2y=0垂直,则直线l的方程为 B.y=2x-2 3.若圆C半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准 方程是 A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(-1)2= 4.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是 A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能 5.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的 长为 6.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为 2√2,则圆C的标准方程为 7.已知圆C和y轴相切,圆心C在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为2V万, 求圆C的方程

13．解 设圆的方程为： x 2＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0，① 将 P、Q 的坐标分别代入①， 得    4D－2E＋F＝－20 ② D－3E－F＝10 ③ 令 x＝0，由①得 y 2＋Ey＋F＝0，④ 由已知|y1－y2|＝4 3，其中 y1，y2 是方程④的两根． ∴(y1－y2) 2＝(y1＋y2) 2－4y1y2 ＝E 2－4F＝48.⑤ 解②③⑤联立成的方程组， 得     D＝－2 E＝0 F＝－12 或     D＝－10 E＝－8 F＝4 . 故所求方程为：x 2＋y 2－2x－12＝0 或 x 2＋y 2－10x－8y＋4＝0. §4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 一、基础过关 1．直线 3x＋4y＋12＝0 与圆(x＋1) 2＋(y＋1) 2＝9 的位置关系是 ( ) A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交 2．直线 l 将圆 x 2＋y 2－2x－4y＝0 平分，且与直线 x＋2y＝0 垂直，则直线 l 的方程为( ) A．y＝2x B．y＝2x－2 C．y＝ 1 2 x＋ 3 2 D．y＝ 1 2 x－ 3 2 3．若圆 C 半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆的标准 方程是 ( ) A．(x－2) 2＋(y－1) 2＝1 B．(x－2) 2＋(y＋1) 2＝1 C．(x＋2) 2＋(y－1) 2＝1 D．(x－3) 2＋(y－1) 2＝1 4．若直线 ax＋by＝1 与圆 x 2＋y 2＝1 相交，则点 P(a，b)的位置是 ( ) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．都有可能 5．过原点 O 作圆 x 2＋y 2－6x－8y＋20＝0 的两条切线，设切点分别为 P、Q，则线段 PQ 的 长为________． 6．已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：y＝x－1 被该圆所截得的弦长为 2 2，则圆 C 的标准方程为____________． 7．已知圆 C 和 y 轴相切，圆心 C 在直线 x－3y＝0 上，且被直线 y＝x 截得的弦长为 2 7， 求圆 C 的方程．