公式①就是二重积分化为定积分的计算方法,该 方法也称为累次积分法.计算第一次积分时,视x为 常量,对变量y由下限y1(x)积到上限y2(x),这时计算 结果是一个关于x的函数,计算第二次积分时,x是积 分变量,积分限是常数,计算结果是一个定值 设积分区域D可表示为不等式(见下图) x1(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d 完全类似地可得 x,(y) f(x, y)dxdy x(y) x2(y) d f(x,y)dx② x(y) 冈凶
公式①就是二重积分化为定积分的计算方法，该 方法也称为累次积分法.计算第一次积分时,视 x 为 常量，对变量 y 由下限 ( ) 1 y x 积到上限 ( ) 2 y x ,这时计算 结果是一个关于 x的函数，计算第二次积分时,x 是积 分变量，积分限是常数,计算结果是一个定值. 设积分区域D可表示为不等式(见下图) ( ) 1 x y ≤x≤ ( ) 2 x y , c≤ y≤d. 完全类似地可得 ② = D f (x, y)dxdy 2 1 ( ) ( ) d ( , )d d x y c x y y f x y x O y x ( ) 2 x = x y x = ( ) 1 x y c d D
化二重积分为累次积分时,需注意以下几点: (1)累次积分的下限必须小于上限; (2)用公式①或②时,要求D分 别满足:平行于y轴或x轴的直线 与D的边界相交不多于两点.如果 D不满足这个条件,则需把D分割 成几块(见右图),然后分块计算; (3)一个重积分常常是既可以先对y积分(公式①), 又可以先对x积分(公式②),而这两种不同的积分次序, 往往导致计算的繁简程度差别很大,那么,该如何恰当地 选择积分次序呢?我们结合下述各例加以说明 冈凶
（2）用公式①或②时,要求 D 分 别满足:平行于 y 轴或 x 轴的直线 与 D 的边界相交不多于两点.如 果 D不满足这个条件，则需把 D 分割 成几块(见右图) ,然后分块计算; O y x D Ⅰ Ⅱ Ⅲ (3)一个重积分常常是既可以先对 y 积分(公式①), 又可以先对 x积分(公式②),而这两种不同的积分次序， 往往导致计算的繁简程度差别很大,那么，该如何恰当地 选择积分次序呢?我们结合下述各例加以说明. 化二重积分为累次积分时,需注意以下几点： （1）累次积分的下限必须小于上限;
例1计算 xydxdy,其中D:x2+y2≤1 x≥0,y≥0 解作D的图形(见下图).先对y积分(固定 x),y的变化范围由0到1-x2,然后再在x的 最大变化范围[0,1内对x积分,于是得到 dxd (1-x2)dx 2 D 本题若先对x积分,解法类似 冈凶
例 1 计算 D xydxdy ,其中 D : 2 2 x + y ≤ 1 x≥ 0，y ≥ 0 . 解 作D 的图形(见下图).先 对 y 积 分(固 定 x), y 的变化范围由 0 到 2 1− x ,然后再在 x 的 最大变化范围[0,1]内对 x 积分，于是得到 O y x D 1 x 1 D xydxdy 2 1 1 1 2 0 0 0 1 d d ( ) 2 x x xy y x y − = = 2 4 1 1 2 0 0 1 1 1 (1 )d ( ) . 2 2 2 4 8 x x = − = − = x x x 本题若先对x积分，解法类似
例2计算2xydy,其中D由抛物线y2=x及直 线y=x-2所围成 解画D的图形(见下图).选择先对x积分,这 时D的表示式为 ≤x≤y+2 1≤y≤2 B(4,2) 2 从而 2xv dxd d x=1 2 y2(x2)|,dy 0 (y+4y2+4y2-y0)dy A(,1) 6 1+ 7 冈凶
例 2 计算 D 2xy dxdy 2 ,其 中D由抛物线y = x 2 及直 线 y = x − 2所围成. 解 画D的图形(见下图).选择先对 x积分,这 时 D的表示式为 − + 1 2 2 2 y y x y , 从 而 D 2xy dxdy 2 = − 2 + 1 2 2 2 d 2 d y y y xy x y y y y y y x y y y ( 4 4 )d ( )| d 2 1 4 3 2 6 2 2 1 2 2 2 − + − = + + − = = 35 6 15 3 7 4 5 1 2 7 4 3 5 = + + − − y y y y . O y x D 2 x =y x =y +2 − 1 2 A(1,−1) B(4,2)
例2求椭圆抛物面z=4 与平面z=0所 围成的立体体积 解画出所围立体的示意图(见图a),考虑到图形的 对称性,只需计算第一卦限部分即可,其中D如图(b)所 √16-4 故V=4 dxdy=4 dx 4 45(4y-2y-12) 16-4x2 16 4-x2)2dx=16兀 y=√16-4x2 (b) 冈凶
例 2 求椭圆抛物面 4 4 2 2 y z = − x − 与平面 z = 0所 围成的立体体积. 解 画出所围立体的示意图(见图 a),考虑到图形的 对称性，只需计算第一卦限部分即可,其中 D如图(b)所 示. 故 x y y V x D d d 4 4 4 2 2 = − − = y y x x x d 4 4 d 4 2 0 16 4 0 2 2 2 − − − = y x y y x x d 12 1 4 4 2 16 4 0 2 0 2 3 − − − = (4 ) d 16π 3 16 2 0 2 3 2 − = x x . O y 2 x 4 y = 16 −4 x2 D (a) z O y x 2 4 4 4 2 2 y z = − x − (b)