3曲线积分的定义 定义设L是xoy平面内以4、B为端点的光滑曲线,函 数∫(x,y)L上有界。在L上任意插入一个点列 0311;…,M A=M.M B 把L分成n个小段,设第个小段M,M的弧长为△s, 在M/1M1上任取一点(,m),(i=1,2,…,) ∑∫(5,7
3.曲线积分的定义 定义 设L是xoy平面内以A、B为端点的光滑曲线，函 数 f (x, y)L上有界。在L上任意插入一个点列 0 1 , , , A = M M " M n = B 把L分成n个小段，设第i个小段 的弧长为∆s, 在 上任取一点(ξi, ηi)，(i=1,2, …,), M q i i −1M M q i i −1M 1 ( , ) n i i i i f s ξ η = ∑ ∆
记=max{△s}如果当λ→>0时,和式的极限存在,则 1≤i<n 称此极限为数量值函数(x,y)在曲线L上的积分,记作 f(x, y)ds 「/(xy)=1m∑/(5,m)AS
记 ，如果当λ→0时，和式的极限存在，则 称此极限为数量值函数f(x, y)在曲线L上的积分，记作 1 max{ }i i n λ s ≤ ≤ = ∆ ( , ) L f x y ds ∫ 即： 0 1 ( , ) lim ( , ) . n i i i L i f x y ds f s λ ξ η → = = ∑ ∆ ∫
注:1此类曲线积分又称为第一类曲线积分或对弧长的 曲线积分; 2如果∫(,y)是L上的连续函数,则曲线积分一定存在; 3若L是闭曲线,则曲线积分一般表示为 f(x, y)ds 4由前面的讨论,可以看到柱面的面积可以由下面的计 算公式得到 A=h(x, y)ds
注：1.此类曲线积分又称为第一类曲线积分或对弧长的 曲线积分； 2.如果 f (x, y)是L上的连续函数，则曲线积分一定存在； ( , ) . L f x y ds v∫ 3.若L是闭曲线，则曲线积分一般表示为 4.由前面的讨论，可以看到柱面的面积可以由下面的计 算公式得到 ( , ) , L A = h x y ds ∫
而曲线型构件的质量为 M=p(x,y)ds 5由曲线积分的定义,不难得到如下的两个性质: e(1)比a,B∈R,有 ∫[l(xy)+B8g(xy)]s a f(x, y)ds+Bl g(x, y)ds
而曲线型构件的质量为 ( , ) . L M = ρ x y ds ∫ 5.由曲线积分的定义，不难得到如下的两个性质： (1) ∀α, β∈ R，有 [ ( , ) ( , ) ] ( , ) ( , ) , L L L f x y g x y d s f x y d s g x y d s α β α β + = + ∫ ∫ ∫
(2)若曲线弧L由曲线弧L1和L2连接而成的,则 f(x,y)ds=L f(x, y)ds+I f(x, y)ds 由此得到,若L是分段光滑曲线,f(x,y)在L上连续, 则曲线积分存在
(2)若曲线弧L由曲线弧L1和L2连接而成的，则 1 ( , ) ( , ) ( , ) . L L L f x y ds = + f x y ds f x y ds ∫ ∫ ∫ 由此得到，若L是分段光滑曲线，f (x, y)在L上连续， 则曲线积分存在