第三单元微分
第三单元 微分
本单元内容要点 微分的概念;可微的条件;微分的计算;应用 下
本单元内容要点 微分的概念；可微的条件；微分的计算；应用．
本单元教学要求 理解微分的概念;微分的几何意义:从几何上理解微 分是函数增量的主要部分;掌握利用微分去近似计算 下
本单元教学要求 理解微分的概念；微分的几何意义：从几何上理解微 分是函数增量的主要部分；掌握利用微分去近似计算．
微分的定义 1引例 首先我们来看一个具体的例子:一块正方形的金属薄 片受温度变化的影响,其边长从 x变化到x+△x,问此薄片的 面积改变了多少? A=x 分析:当边长为x时,相应的面 积为S(x)=x2 下
一、微分的定义 1.引例 x Dx 2 A = x ( )2 ∆x x Dx 首先我们来看一个具体的例子：一块正方形的金属薄 片受温度变化的影响，其边长从 变化到 ，问此薄片的 面积改变了多少？ x x x + ∆ 分析：当边长为 时，相应的面 积为 x 2 S x( ) = x
而当边长增加到x+A时,薄片面积的改变量为 △S=(x+△x)-x2=2xAx-(△x) 从中可以看出△S由两部分构成:第一部分2x^x是△ 的线性函数;第二部分(△x)当△x→>0是△x的高阶无 穷小.由此可见:如果边长的改变很微小,则面积的 改变量可以近似地用第一部分来代替.由于第一部分 是△的线性函数,而且当△x越小时,近似程度也越 好.这给近似计算带来了很大的方便 下
而当边长增加到 x x +∆ 时，薄片面积的改变量为 ( ) ( ) 2 2 2 ∆ = S x + ∆x − x = 2 , x∆x − ∆x 从中可以看出 由两部分构成：第一部分 是 的线性函数；第二部分 当 是 的高阶无 穷小．由此可见：如果边长的改变很微小，则面积的 改变量可以近似地用第一部分来代替．由于第一部分 是 的线性函数，而且当| | 越小时，近似程度也越 好．这给近似计算带来了很大的方便． ∆S 2x x∆ ∆x ( )2 ∆x ∆ →x 0 ∆x ∆x ∆x