ht)=f0),且h(O)=0, 由上述微分性质，有 2[h'(]=s2[h()]-h(O)=s[h] 即T6f0=2b)=12h'=12fo=1Fs) 这个性质表明了一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数、 指衡gh-o边}Fo 次积分 象函数的积分性质： 2/01=j℉6h 或f)=1乎F(s)ds] 一般地有 g191-4-达 n次积分 例4：求函数f0=sn'的拉氏变换。 解：因为2[sm小=子中 1 根据上述象函数的积分性质，可知 1=-广gmw-44-号m 158
158 h′(t) = f (t)，且 h(0) = 0 ， 由上述微分性质，有 L [h′(t)] = sL [h(t)] − h(0) = sL [h(t)] 即 F( ) 1 [ ( )] 1 [ ( )] 1 [ ( ) ] [ ( )] 0 s s f t s h t s f t dt h t t L ∫ = L = L ′ = L = 这个性质表明了一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数 s. 推广 { } ( ) 1 ( ) 00 0 F s s dt dt f t dt n n tt t ∫∫ ∫ = 14 2 44 4 3 44 L 次积分 L 象函数的积分性质： ∫ ∞ = s s ds t f t ] F( ) ( ) L [ 或 ( ) [ F( ) ] 1 ∫ − ∞ = s f t tL s ds 一般地有 14 2 44 4 3 44 L n次积分 n ss s ds ds F s ds t f t ∫∫ ∫ ∞∞ ∞ ] = ( ) ( ) L [ 例 4： 求函数 t t f t sin ( ) = 的拉氏变换。 解： 因为 1 1 [sin ] 2 + = s L t 根据上述象函数的积分性质，可知 ds s s t ds t t s s arctan 1 2 1 ] [sin ] sin [ 2 = − + = = ∫ ∫ ∞ ∞ π L L
第六章拉氏变换 从而2=：。h=号-cm 令s=0,则店n= 5.位移性质 若乎[fu】=F(s),a为复常数 则有史[e“fu】=F(s-a) (Re(s-a)>c) 证明： e(e"f(te-"di=f(t)edi=F(s-a) 所以里[e“ft)】=F(s-a) (Re(s-a)>c) 例5：求[e"1],m为正整数 解1兴.er位移性质 (-a)m 例6：求乎[ea cos ki] 解：Y[cos=子+k 2e“cos位移性质s+a (s+a)2+k2 6.延迟性质 若安[f)】=F(s),又<0时f)=可，则对于任一非负实数r有 里[ft-r】=erF(s)或[erF(s】=ft-t) 证明：fu-r刃=。fu-re"d 159
第六章 拉氏变换 159 从而 e dt s t t t t st arctan 2 sin ] sin [ 0 = = − ∫ ∞ − π L 令 s = 0 ，则 2 sin 0 π = ∫ ∞ dt t t 5．位移性质 若 L [ f (t)] = F(s) ， a 为复常数 则有 [e f (t)] F(s a) (Re(s a) c) at L = − − > 证明： [ ( )] ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) e f t e f t e dt f t e dt F s a at at st s a t = ∫ ∫ = = − + ∞ ∞ − + − − L 所以 [e f (t)] F(s a) (Re(s a) c) at L = − − > 例 5：求 [ ] at m L e t ，m 为正整数 解： 1 ! [ ] + = m m s m L t ， 1 ( ) ! [ ] + − m at m s a m e t 位移性质 L 例 6：求 [e cos kt] −at L 解： 2 2 [cos ] s k s kt + L = 2 2 ( ) [ cos ] s a k s a e kt at + + − 位移性质 + L 6．延迟性质 若L [ f (t)] = F(s) ，又 t < 0 时 f (t) = 0 ，则对于任一非负实数τ有 [ f (t )] e F(s) sτ τ − L − = 或 [ F( )] ( ) 1 τ τ = − − − e s f t s L 证明： ∫ +∞ − − = − 0 [ f (t )] f (t )e dt st L τ τ