第六章拉氏变换 =[f(D)e"d+e" 从而证得 TUoIdjeh 如：0=包10在1>0时，是以2r为周期的函数。即 ft+2π)=ft),1>0 reo-0l1-dl0eh"1-dl5aeu neh-k-专me。一广ose的 cosecosesinte fosinte "d=I+eIe s232+152+1 所以Lf】= 11+es 11 1-e2m52+1s2+11-ea 153
第六章 拉氏变换 153 ( ) [ ( )] 0 f t e dt e f t sT T st L − − = + ∫ 从而证得 f t e dt e f t T st sT ∫ − − − = 0 ( ) 1 1 L [ ( )] 如： ⎩ ⎨ ⎧ < < < < = π π π 0 2 sin 0 ( ) t t t f t 在t > 0 时，是以 2π 为周期的函数，即 f (t + 2π ) = f (t),t > 0 te dt e f t e dt e F s f t st s st s ∫ ∫ − − − − − = − = = π π π π 2 0 2 2 0 sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) L [ ( )] 而 cos ] 0 [sin 1 [ sin ] 1 sin 0 0 0 te dt t te s tde dt s te dt st st st st ∫ ∫ ∫ − − − − − − = = − = π π π π sin ] 0 [cos 1 cos 1 1 0 2 0 te dt t te s tde s s st st st ∫ ∫ − − − + = = − − = ⋅ π π π te dt s s s e st s ∫ − − = + − π π 2 2 2 0 sin 1 1 1 1 1 1 sin 2 2 2 0 2 + + = + ⋅ + = − − − ∫ s e s s s e te dt s s st π π π 所以 s s s s s e e e f t π π π − − − − ⋅ + = + + − = 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ( )] 2 2 2 L
4.利用现有表查表求拉氏变换 如：2[e*-e21P2733-2 23式(s-3(s-2)(s-3s-2) 又如：疗c@s创-snb创的拉氏安换。 由于疗cosb1-snb创=g*(方osM-方n0 =e"(sin牙cosM-cos7snb0） =esm经-=e*sn-加+孕 根据附录Ⅱ中(P273)第21式，a=-b,c=元时，可以得到 若sw-m-2ma到 g+bsm子+(-beo子 (s+b)2+(-b)2 2s2+2bs+262) 作业：P1921(1,4),2(1,3) 154
154 4．利用现有表查表求拉氏变换 如： ( 3)( 2) 1 ( 3)( 2) 3 2 23 273 [ ] 3 2 − − = − − − − s s s s P e e t t 式 L 又如： (cos sin ) 2 bt bt e bt − − 的拉氏变换。 由于 sin ) 2 1 cos 2 1 (cos sin ) ( 2 bt bt e bt bt e bt bt − = − − − ) 4 ) sin( 4 sin( sin ) 4 cos cos 4 (sin π π π π = − = − + = − − − − e bt e bt e bt bt bt bt bt 根据附录Ⅱ中(P273)第 21 式， 4 , π a = −b c = 时，可以得到 ) ] 4 (cos sin )] [sin( 2 [ π − = − + − bt bt bt e bt L L 2 2 ( ) ( ) 4 ( ) cos 4 ( )sin s b b s b b + + − + + − = π π 2( 2 2 ) 2 2 2 s bs b s + + = 作业： P192 1(1,4)，2 (1,3)
第六章拉氏变换 课题：拉氏变换的性质 章节：§6.2拉氏变换的性质课时：4 上课时段：2005-12-5~12-9 重点：线性性质、相似性质、微分性质、位移性质、延迟性质 要求：灵活掌握线性性质、相似性质、微分性质、位移性质、延迟性质，会利用他们求函数的 拉氏变换，理解用拉氏变换的某些性质求一些函数的广义积分。 内容： 1、线性性质 若a,B是常数，里[f(]=E(s),[f()]=E(s) af(1)+Bf(1)]=a(]+B(1)]=aF(s)+BF2(s) [aF(s)+BF2(s)]=aF(s)]+B[F2(s)] 数2e61=21g1产0-司 收敛域：Re(s)>3 2。相似性质 若[f]=F(s),则对任一常数a>0有 (-F 证明far】=fare"dh =fe中=Fr月 3、微分性质 若[f】=F(s),则[f']=sF(s)-fO) 155
第六章 拉氏变换 155 课题：拉氏变换的性质 章节：§6.2 拉氏变换的性质 课时：4 上课时段：2005-12-5~12-9 重点：线性性质、相似性质、微分性质、位移性质、延迟性质 要求：灵活掌握线性性质、相似性质、微分性质、位移性质、延迟性质，会利用他们求函数的 拉氏变换，理解用拉氏变换的某些性质求一些函数的广义积分。 内容： 1、线性性质 若α，β是常数， [ ( )] F ( ) , [ ( )] F ( ) 1 1 2 2 L f t = s L f t = s [ F ( ) F ( )] [F ( ) ] [F ( )] [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] F ( ) F ( ) 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ⎭ ⎬ ⎫ + = + + = + = + − − − s s s s f t f t f t f t s s L L L L L L α β α β α β α β α β 如： ( 3)( 2) 1 2 1 3 1 [ ] [ ] [ ] 3 2 3 2 − − = − − − − = − = s s s s e e e e t t t t L L L 收敛域： Re(s) > 3 2．相似性质 若L [ f (t)] = F(s) ，则对任一常数 a > 0 有 ( ) 1 [ ( )] a s F a L f at = 证明 ∫ +∞ − = 0 [ f (at)] f (at)e dt st L ( ) 1 ( ) 1 0 a s F a f x e dx a x a s x at = ∫ 令 = +∞ − 3、微分性质 若L [ f (t)] = F(s) ，则L [ f ′(t)] = s F(s) − f (0)
证明：f"=∫。f')e"d1 对右端积分利用分部积分法，可得 fu1=∫。foe"d=j。e"df0=fuel+。fue"dt =s乎[f]-f(O)(Re(s)>c),c为某一常数。 所以[f"()】=sF(s)-f(O) 推论若乎[fu]=Fs),则 Lf(】=sFs)-sk-f0)-s-2f"(0)-fk-(0)(R(s)>c) 特别，当初始值f(0)=f'(0)=.=-(0)=0时，有 Lf'(】=sF(s) 里[f"]=s2F(s) [f】=sF(s) 例1求函数f(t)=sinkt的拉氏变换 解：由于f(0)=sin0=0,f"(0)=k coskr==k,f"()=-k2 sinkr 则[-k2sin=[f"(]=s2[f()]-yf(0)-f'"(0) 即-k2[sink]=s2里[sink]-k 移项化简得 25imk个=2+R k (Re(s)>0) 例2：求函数f)=1m的拉氏变换，其中m是正整数 解：由于f(0)=f"(0)=f"(0)=.=fm-(0)=0 而fm()=m 156
156 证明： [ ( )] ( ) d ∫ 0 +∞ − f ′ t = f ′ t e t st L 对右端积分利用分部积分法，可得 ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ − = − +∞ − +∞ − ′ = ′ = = + 0 0 0 0 [ f (t)] f (t)e dt e d f (t) f (t)e s f (t)e dt st t st st st L = sL [ f (t)] − f (0) (Re(s) > c)，c 为某一常数。 所以L [ f ′(t)] = s F(s) − f (0) 推论 若L [ f (t)] = F(s) ，则 [ ( )] F( ) (0) (0) (0) (Re( ) ) ( ) 1 2 ( 1) f t s s s f s f f s c k k k k k = − − ′ − − > − − L − L 特别，当初始值 (0) (0) (0) 0 ( 1) = ′ = = = k− f f L f 时，有 L [ f ′(t)] = s F(s) [ ( )] F( ) 2 L f ′′ t = s s M [ ( )] F( ) ( ) f t s s k k L = 例 1 求函数 f (t) = sin kt 的拉氏变换 解：由于 f f k kt k f t k kt t (0) sin 0 0, (0) cos , ( ) sin 2 = = ′ = =0 = ′′ = − 则 [ sin ] [ ( )] [ ( )] (0) (0) 2 2 L −k kt = L f ′′ t = s L f t − sf − f ′ 即 − k [sin kt] = s [sin kt] − k 2 2 L L 移项化简得 [sin ] (Re( ) 0) 2 2 > + = s s k k L kt 例 2：求函数 m f (t) = t 的拉氏变换，其中 m 是正整数。 解： 由于 (0) (0) (0) (0) 0 ( 1) = ′ = ′′ = = = m− f f f L f 而 ( ) ! ( ) f t m m =
第六章拉氏变换 所以 [m=[fm=s"[f-sm-f0)-sr-2f'0-fm-(0) 即史[m]=s"里u] 而m则]=me"d=m刊=m 所以21 (Re(s)>0) 象函数的微分性质： (s)=F(s)=-(). Re(s)>c ds 一般有F(s)=2[(-1)”fu), Re(s)>c 例3：求函数f(U)=tcosk:的拉氏变换。 解：因为[0s=g子+k S 里[t coskt]= 1c2到. d s (62+k2y262+k27 同理可得[t sin k]= 2ks (62+62)2 4.积分性质 若[fI】=F(s) 则可6f0]=Fs) 证明：设h)=6f0) 则有 157
第六章 拉氏变换 157 所以 [ !] [ ( )] [ ( )] (0) (0) (0) ( ) −1 −2 ( −1) = = − − ′ − − m m m m m L m L f t s L f t s f s f L f 即 [ !] [ ] m m L m = s L t 而 s m m m e dt m st ! [ !] ! ! [1] 0 = ∫ = = +∞ − L L 所以 (Re( ) 0) ! [ ] 1 = > + s s m t m m L 象函数的微分性质： s s tf t s c ds d F( ) = F′( ) = L [− ( )], Re( ) > 一般有 s t f t s c n n F ( ) = [(− ) ( )], Re( ) > ( ) L 例 3： 求函数 f (t) = t cos kt 的拉氏变换。 解： 因为 2 2 [cos ] s k s kt + L = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) [( ) (2 )] [ cos ] [ ] s k s k s k s k s s s k s ds d t kt + − = + − + − = + L = − 同理可得 2 2 2 ( ) 2 [ sin ] s k ks t kt + L = 4．积分性质 若 L [ f (t)] = F(s) 则 F( ) 1 [ ( ) ] 0 s s f t dt t = L ∫ 证明：设h t f t dt t = ∫0 ( ) ( ) 则有