课题：拉氏变换的概念 章节：§6.1拉氏变换的概念 课时：2 上课时段：2005-12-1~12-2 重点：拉氏变换的定义 要求：理解拉氏变换的定义，掌握拉氏变换的求解方法，记住某些特殊函数的拉氏变换，了解 周期函数的拉氏变换公式 内容： 1.引子 已知p(),求p(t)u(t)eB1(B>0)的傅氏变换。 Gp()=u)e-edf(ed=jfedt 其中 f0=pu(0s=B+jo→0=5-里 令 -c\ 可得 F(s)=0f)edt(其中s是一个复参量，且Rs)>0) 2、定义 拉普拉斯变换（简称拉氏变换） F(s)==f()e-"dt (R.(s)>0) 可作变换的条件1)ft)当t≥0时有定义 148
148 课题：拉氏变换的概念 章节：§6.1 拉氏变换的概念 课时：2 上课时段：2005-12-1~12-2 重点：拉氏变换的定义 要求：理解拉氏变换的定义，掌握拉氏变换的求解方法，记住某些特殊函数的拉氏变换，了解 周期函数的拉氏变换公式 内容： 1． 引子 已知ϕ(t)，求 t t u t e β ϕ − ( ) ( ) ( β > 0 )的傅氏变换。 G t u t e e dt β t jω t β ω ϕ +∞ − − ∫ −∞ ( ) = ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ − + +∞ − = = 0 0 ( ) f (t)e dt f (t)e dt β jω t st 其中 j s f t t u t s j β ϕ β ω ω − ( ) = ( ) ( ), = + ⇒ = 令 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = j s F s G β β ( ) 可得 F s f t e dt st ∫ +∞ − = 0 ( ) ( ) (其中 s 是一个复参量，且 Re (s) > 0 ) 2、定义 拉普拉斯变换(简称拉氏变换) F s f t f ( )t e dt st ∫ +∞ − = = 0 ( ) L [ ( )] ( Re (s) > 0 ) 可作变换的条件 1) f (t)当t ≥ 0时有定义
第六章拉氏变换 2)。f)e”d在s的某一领域内收敛 逆变换：fu)=[F(s)] 拉氏变换实际上就是f(u)u(U)eB1的傅氏变换。 例1求单位阶跃函数()= 0,1<0:的拉氏变换。 1,120 鼻2o小片心收效8- 即zuu)=l,Res>0 例2求指数函数f=e'的拉氏变换(k为实数). 解2[Uo-6eeah=je-ah当Rc>时收敛1 s-k 即后e-rh= 5-k 烈Ra国>大 3、拉氏变换的存在定理 f()要满足 1°t≥0的任一有限区间上分段连续： 2°t→+∞时，∫()的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M>0及 c≥0，使得 lf(t=Meet0≤t<+oo 成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为它的增长指数）
第六章 拉氏变换 149 2) f t e dt st ∫ +∞ − 0 ( ) 在 s 的某一领域内收敛 逆变换： ( ) [ ( )] 1 f t F s − = L 拉氏变换实际上就是 t f t u t e−β ( ) ( ) 的傅氏变换。 例 1 求单位阶跃函数 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 1 , 0 0 , 0 ; ( ) t t u t 的拉氏变换。 解： [ ] s t e s s u t e dt st st 1 0 Re( ) 0 1 ( ) 1 0 = = + ∞ − > = ⋅ +∞ − − ∫ 当 时收敛 L 即 [ ] s u t 1 L ( ) = ， Re(s) > 0 例 2 求指数函数 ( ) k t f t = e 的拉氏变换（k 为实数）。 解： [ ] s k s k f t e e dt e dt kt st s k t − > = ∫ = ∫ +∞ +∞ − − Re( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 当 时收敛 L 即 s k e dt s k t − ∫ = +∞ − − 1 0 ( ) 所以 [ ] s k e k t − = 1 L ， Re(s) > k 3、拉氏变换的存在定理 f (t)要满足： 1º t≥0 的任一有限区间上分段连续； 2º t→+∞时， f (t)的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数 M>0 及 c≥0，使得 f ( )t = M e ≤ t < +∞ c t 0 成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c 为它的增长指数）
则f(t)的拉氏变换 F(s)=∫f()ed 在Re(s)>c上一定存在 例3求余弦函数f()=cos:(k为实数)的拉氏变换 解：[cosk=J0 coskt:ed "cos kid(e)coskdcosk) 当a8>-naea-in") -卢maek-后e4m刨 。m号 子cos 所以[osk个]=+k (R(s)>0) 同理正弦函数f)=sink(k为实数)的拉氏变换 [sin kr]=∫。"sin kted =J0 sin)=-smae-edsma 150
150 则 f (t)的拉氏变换 F s f t e dt st ∫ +∞ − = 0 ( ) ( ) 在 Re(s) > c 上一定存在 例 3 求余弦函数 f (t) = cos kt （k 为实数）的拉氏变换 解： ∫ +∞ − = ⋅ 0 [cos kt] cos kt e dt st L ∫ ∫ + ∞ ∞ − − +∞ + − = − ⋅ − − = 0 0 0 [cos (cos )] 1 cos ( ) 1 kt e e d kt s kt d e s st st st ∫ ∫ + ∞ ∞ − + − ⋅ − − ⋅ = − ⋅ > 0 0 sin ( ) 1 1 sin Re( ) 0 1 st st kt d e s s k s kt e dt s k s 当 s 时 ∫ − +∞ +∞ − = − ⋅ − 2 0 0 [sin (sin )] 1 kt e e d kt s k s st st [cos ] 1 cos 1 2 2 2 0 2 kt s k s kt e dt s k s st = + ⋅ = − ⋅L +∞ − ∫ 所以 [cos ] ( ( ) 0) 2 2 > + = R s s k s kt L e 同理正弦函数 f (t) = sin kt （k 为实数）的拉氏变换 ∫ +∞ − = ⋅ 0 [sin kt] sin kt e dt st L ∫ ∫ + ∞ ∞ + − − +∞ − = − ⋅ − − = 0 0 0 [sin (sin )] 1 sin ( ) 1 kt e e d kt s kt d e s st st st
第六章拉氏变换 =J。co-=J后cos) cokd(cosk -如ueh长发 ·sin 所以2sn个=+F (R(s)>0) 注意：1=0时的情况，在1=0处包含了脉冲函数时，则须明确积分区间是0还是0 f=∫。f0e"d fo=Jfe"d=∫f(De-"dt+∫fu0e"dh 当f0在1=0附近有界时∫f0e=0,即乡[f=乡f) 当f0在1=0处包含脉冲函数时，则。fe“d≠0，即子[f≠子[f】 为此，120的条件扩大为当1>0及1=0的任意一个领域内有定义，定义应为 乎.f=jf)e"d 但为了书写方便写为孕[/=∫。f0)e"dh 151
第六章 拉氏变换 151 ∫ ∫ + ∞ ∞ + − − ⋅ − = ⋅ = ⋅ 0 0 cos ( ) 1 cos st st kt d e s s k kt e dt s k ∫ +∞ − +∞ − = − ⋅ − 0 2 0 [cos kt e e d (cos kt)] s k st st sin [sin ] 2 2 2 0 2 2 2 kt s k s k kt e dt s k s k st = − ⋅ = − ⋅L − +∞ ∫ 所以 [sin ] ( ( ) 0) 2 2 > + = R s s k k kt L e 注意：t = 0 时的情况，在t = 0 处包含了脉冲函数时，则须明确积分区间是 0+ 还是 0- ∫ +∞ − + = 0 [ f (t)] f (t) e dt st L ∫ ∫ ∫ +∞ + − + − − +∞ − − − = = + 0 0 0 0 [ f (t)] f (t)e dt f (t)e dt f (t)e dt st st st L 当 f (t) 在t = 0 附近有界时 ( ) 0 0 0 = ∫ + − − f t e dt st ，即 [ f (t)] [ f (t)] L− = L+ 当 f (t) 在t = 0 处包含脉冲函数时，则 ( ) 0 0 0 ≠ ∫ + − − f t e dt st ，即 [ f (t)] [ f (t)] L− ≠ L+ 为此，t ≥ 0 的条件扩大为当t > 0及t = 0 的任意一个领域内有定义，定义应为 ∫ +∞ − − − = 0 [ f (t)] f (t)e dt st L 但为了书写方便写为 ∫ +∞ − = 0 [ f (t)] f (t)e dt st L
例4：求单位脉冲函数6)的拉氏变换。 解：6函数的筛选性质∫f)60)t=f0) [6】=j。6)edh=j。6u)ed=∫6u)edh=e|o=1 例5：求函数f)=e6()-aea()(a>0)的拉氏变换。 解：[f=Jf)e"dh=j[eaδ0-ce()e"dh =ja0）es+ard-afeadt =eoal+,fae6arl 当Rs)>-时1-a=S s+a s+a 化简周期函数一般有，对T为周期的函数f(0)即f1+T)=f(),1>0,当在一个周期上 是分段连续时，则有 2o例5d0ea (Re(s)>0) 证明由拉氏变换的定义有 =["f(De-"d=[fDe"di+["f(De-"di 对上式右端第二个积分作变量代换1=1-T,考虑f)的周期性，得 =[()e-"di+[f(e-e-"dn 152
152 例 4：求单位脉冲函数δ (t) 的拉氏变换。 解：δ函数的筛选性质 ∫ +∞ −∞ f (t)δ (t)dt = f (0) ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ = + ∞ ∞ − + − − − = = = = = − [ ( )] ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 t st st st st L δ t δ t e dt δ t e dt δ t e dt e 例 5：求函数 ( ) = ( ) − ( ) ( > 0) − − δ α α α α f t e t e u t t t 的拉氏变换。 解： ∫ ∫ + ∞ ∞ − + − − − = = − 0 0 [ f (t)] f (t)e dt [e (t) e u(t)]e dt st α t α t st L δ α ∫ ∫ + ∞ ∞ − + + − + = − 0 0 ( ) ( ) (t) e dt e dt s α t s α t δ α +∞ = − + = − + + = + 0 ( ) 0 ( ) t s t t s t e s e α α α α α α α α + = + − > − s s s R s 1 当 ( ) 时 化简周期函数一般有，对 T 为周期的函数 f (t) 即 f (t + T) = f (t),t > 0，当在一个周期上 是分段连续时，则有 ( ) (Re( ) 0) 1 1 [ ( )] 0 > − = ∫ − − f t e dt s e f t T st L sT 证明 由拉氏变换的定义有 ∫ ∫ ∫ +∞ − − +∞ − = = + T st T st st [ f (t)] f (t)e dt f (t)e dt f (t)e dt 0 0 L 对上式右端第二个积分作变量代换t 1 = t −T ，考虑 f (t)的周期性，得 ∫ ∫ +∞ − − − = + 0 1 1 0 1 [ f (t)] f (t)e dt f (t )e e dt st sT T st L