第四章频率特性分析 讲授内容 4.1频率特性概述 一、频率响应与频率特性 线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。 一个稳定的线性定常系统，在谐波函数作用下，其输出的稳 态分量（频率响应）也是一个谐波函数，而且其角频率与输入信 号的角频率相同，但振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅与 相位，而随着角频率的改变而改变。即，若系统的输入为 x,()=X,sinot,则系统的稳态输出为x,)=X(@)sim[om+p(@】。因此， 往往将线性系统在谐波输入作用下的稳态输出称为系统的频率 响应。 根据频率响应的概念，可以定义系统的幅频特性和相频特 性。 幅频特性：输出信号与输入信号的幅值比称为系统的幅频特 性，记为A()。它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的 谐波信号时，其幅值的衰减或增大特性。显然 X 相频特性：输出信号与输入信号的相位差（或称相移）称为 系统的相频特性，记为(@)。它描述了在稳态情况下，当系统输 入不同频率的谐波信号时，其相位产生的超前[(@)>0]或滞后
第四章 频率特性分析 讲授内容 4.1 频率特性概述 一、频率响应与频率特性 线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。 一个稳定的线性定常系统，在谐波函数作用下，其输出的稳 态分量（频率响应）也是一个谐波函数，而且其角频率与输入信 号的角频率相同，但振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅与 相位，而随着角频率的改变而改变。即，若系统的输入为 x t X t i( ) = i sinω ，则系统的稳态输出为 ( ) ( )sin[ ( )] xo t = X0 ω ωt +ϕ ω 。因此， 往往将线性系统在谐波输入作用下 的稳态输出称为系统的频率 响应。 根据频率响应的概念，可以定义系统的幅频特性和相频特 性 。 幅频特性：输出信号与输入信号的幅值比称为系统的幅频特 性 ，记 为 A(ω) 。它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的 谐波信号时，其幅值的衰减或增大特性。显然 i o X X A ( ) ( ) ω ω = 。 相频特性： 输出信号与输入信号的相位差 （或称相移） 称 为 系统的相频特性， 记 为 ϕ(ω)。 它描述了在稳态情况下， 当系统输 入不同频率的谐波信号时， 其相位产生的超前 [ 0 ϕ(ω) > ]或滞后
[p(o)<0]的特性。 通常将幅频特性A(o)和相频特性(o)统称为频率特性 根据频率特性和频率响应的概念，还可以求出系统的谐波输 入x,()=X,sinot作用下的稳态响应为x,()=X,A(o)sim[a+p(ao川。 二、频率特性的求法 1.利用频率特性的定义来求取 设系统或元件的传递函数G(s) 输入为谐波输入x,)=X,sinot 则系统的输出为x,0=上G(⊙)，+ X,0 系统的稳态输出为xam=lim,0=X,(o)sin+p)】 根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性。 2,在传递函数G(s)中令s=j0来求取 系统频率特性为GUo)=G(s以m·其中，幅频特性为GUo: 相频特性为∠G(U@)。 3.用实验方法求取 根据频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号X,e的频率 o,并测出与此相应的稳态输出的幅值X。(o)与相移p(o)。然后， 作出幅值比X。(@)/X,对频率o的函数曲线，此即幅频特性曲线： 作出相移()对频率0的函数曲线，此即相频特性曲线。最后， 对以上曲线进行辨识即可得到系统的频率特性
[ 0 ϕ(ω) < ]的特性。 通常将幅频特性 A(ω) 和相频特性 ϕ(ω)统称为频率特性。 根据频率特性和频率响应的概念，还可以求出系统的谐波输 入 x t X t i( ) = i sinω 作用下的稳态响应为 x (t) = X A(ω)sin[ωt +ϕ(ω)] o i 。 二、频率特性的求法 1．利用频率特性的定义来求取 设系统或元件的传递函数 G(s) 输入为谐波输入 x t X t i( ) = i sinω 则系统的输出为 ( ) [ ( ) ] 2 2 1 ω ω + = − s X x t L G s i o 系统的稳态输出为 ( ) ( )sin[ ( )] x limx t X t t o o t oss = = ω ω +ϕ →∞ 根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性。 2．在传递函数 G(s)中 令 s = jω 来求取 系统频率特性为 ω ω s j G j G s = ( ) = ( ) 。其中，幅频特性为 G( jω) ； 相频特性为 ∠G( jω)。 3．用实验方法求取 根据频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号 Xie jωt 的频率 ω ，并测出与此相应的稳态输出的幅值 (ω) Xo 与相移 ϕ(ω)。然后， 作出幅值比 Xo Xi (ω)/ 对频率 ω 的函数曲线，此即幅频特性曲线； 作出相移 ϕ(ω)对频率 ω 的函数曲线，此即相频特性曲线。最后， 对以上曲线进行辨识即可得到系统的频率特性
三、频率特性的表示方法 1.代数表示法： G(Ujo)-lG(j@)-exp[j.∠Gjo】 GUjo)=Re[G(j@】+jIm[G(j@】=o)+jN(o) 其中，GUo称为幅频特性；∠Gjo)称为相频特性 (o)称为实频特性：(o)称为虚频特性。 2.图示法： 频率特性常用的几何表示方法有Nqui图、Bode图等。 四、频率特性的特点与作用 l.频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即G(Uo)=FLw(】。 2,频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3.频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入作用下系统的稳态响应。 另外，系统频率特性在研究系统的结构与参数对系统性能的影响 时，比较容易。 4,频率特性分析在实验建模和复杂系统分析方面的应用要比时 域分析法更方便。 4.2频率特性的图示法 一、频率特性的极坐标图（Nyquist图) 在复平面[GUo)]上表示G(Uj@)的幅值Gjo和相角∠G(Uo)随
三、频率特性的表示方法 1．代数表示法： G( jω) = G( jω) ⋅ exp[ j∠G( jω)] G( jω) = Re[G( jω)] + j Im[G( jω)] = u(ω) + jv(ω) 其中， G( jω) 称为幅频特性； ∠G( jω)称为相频特性； u(ω) 称为实频特性； v(ω) 称为虚频特性。 2．图示法： 频率特性常用的几何表示方法有 Nyquist 图 、 Bode 图等。 四、频率特性的特点与作用 1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的 Fou rier 变换。 即 G( jω) = F[w(t)]。 2．频率特性分析通过分析 不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对 系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入作用下系统的稳态响应。 另外，系统频率特性在研究系统的结构与参数对系统性能的影响 时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂 系统分析方面的应用要比时 域分析法更方便。 4.2 频率特性的图示法 一、频率特性的极坐标图（ Nyquist 图） 在复平面[ G( jω) ]上 表 示 G( jω) 的幅值 G( jω) 和相角 ∠G( jω) 随
频率的改变而变化的关系图，这种图形称为频率特性的极坐标 图，又称为Nyquist图。图中矢量GUo)的长度为其幅值GUo,与 正实轴的夹角为其复角∠Go),当频率0从零变化到无穷大时， 矢量G)在复平面上移动所描绘出的矢端轨迹就是系统频率特 性的Nyquist图。 一)、绘制频率特性quis1图的步骤 1.在系统传递函数中令s=jo,写出系统频率特性G(Uo)。 2.写出系统的幅频特性lGUo、相频特性∠GUo)、实频特性(o) 虚频特性vo)。 3.令o=0,求出0=0时的G(Ujo、∠Gj@)、(@)、(o)。 4,若频率特性矢端轨迹与实轴、虚轴存在交点，求出这些交点。 令o)=0,求出o,然后代入)的表达式即求得矢端轨迹与虚 轴的交点：令(o)=0,求出o,然后代入(o)的表达式即求得矢 端轨迹与实轴的交点。 5.对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求o=o,时的GUo、 ∠G(Uo)、4(o)、(@)。若此环节（或系统)的阻尼比0<5<0.707， 则还要计算谐振频率o,、谐振峰值M,及o=o,时的(o)、)。 其中，谐振频率o,、谐振峰值M,可由下式得到： 0,=0nV1-252;M, 1 2-=o. 6.在0<o<o的范围内再取若干点分别求G(j@、∠Gjo)、(o)、 7.令o=o,求出o=o时的lG(jo、∠GUo)、(o)、v(o)
频 率 ω 的改变而变化的关系图，这种图形称为频率特性的极坐标 图 ， 又称为 Nyquist 图 。 图中矢量 G( jω) 的长度为其幅值 G( jω) ， 与 正实轴的夹角为其复角 ∠G( jω)，当频率 ω 从零变化到无穷大时， 矢 量 G( jω) 在复平面上移动所描绘出的矢端 轨迹就是系统频率特 性 的 Nyquist 图。 一）、绘制频率特性 Nyquist 图的步骤 1．在系统传递函数中令 s = jω ，写出系统频率特性 G( jω) 。 2．写出系统的幅频特性 G( jω) 、相频特性 ∠G( jω)、实频特性 u(ω) 、 虚频特性 v(ω) 。 3． 令 ω = 0 ，求出 ω = 0 时 的 G( jω) 、 ∠G( jω)、 u(ω) 、 v(ω) 。 4．若频率特性矢端轨迹与实轴、虚轴存在交点，求出这些交点。 令 u(ω) = 0，求出 ω ，然后代入 v(ω) 的表达式即求得矢端轨迹与 虚 轴的交点；令 v(ω) = 0 ，求出 ω ，然后代入 u(ω) 的表达式即求得矢 端轨迹与实轴的交点。 5．对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求 ω = ω n 时 的 G( jω) 、 ∠G( jω)、 u(ω) 、 v(ω) 。若此环节（或系统）的阻尼比 0 < ξ < 0.707， 则还要计算谐振频率 ω r 、谐振峰值 M r 及 ω = ω r 时 的 u(ω) 、 v(ω) 。 其中，谐振频率 ω r 、谐振峰值 M r 可由下式得到： 2 ω r = ω n 1− 2ξ ； ( ) 2 1 1 2 r r M G jω ξ ξ = − = 6． 在 0 < ω < ∞ 的范围内再取若干点分别求 G( jω) 、 ∠G( jω)、 u(ω) 、 v(ω) 。 7． 令 ω = ∞ ，求出 ω = ∞ 时 的 G( jω) 、 ∠G( jω)、 u(ω) 、 v(ω)
8.在复平面[G(o】中，标明实轴、原点、虚轴和复平面名称 [GU®】。在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并按o增大的 方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标出增大的方向。 二)、典型环节频率特性的Nyquist图 典型环节频率特性的Nyquist图如表4.2.1所示。 三)、quis1图的一般形状 设系统的频率特性为： K(jr@+IY(jr2@+I).(jt@+l) G(jo)-(o+IX+)-T.+ (n2m) 则系统频率特性quist图具有以下规律： 1.当0=0时： 对v型系统，∠Gj@)=v×(-90)。 当v=0时，G(jo=K； 当v>0时，Gjo=。 2.当o=o时，对v型系统，lG(Uo=0,∠G(Uo)=(n-m)×(-90)。 3.当G(5)包含振荡环节时，不改变上述结论。 4,当G(s)包含导前环节时，由于相位非单调下降，Mgis1曲线将 发生弯曲。 因此，从频率特性的gs图中，可以识别系统的型次及其 传递函数分母与分子的最高阶次之差n-m。这对于辨别系统的类 型很有益处。但是，需要说明的是，若系统传递函数中，存在位 于5平面右半平面的极点或者传递函数前有负号，上述结论是不 正确的。 表4.2.1列出了一些常见的quist图
8 ．在复平面 [G( jω)] 中，标明实轴、原点、 虚轴和复平面名称 [G( jω)]。在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并按 ω 增大的 方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标出 ω 增大的方向。 二）、典型环节频率特性的 Nyquist 图 典型环节频率特性的 Nyquist 图 如 表 4.2.1 所示。 三）、 Nyquist 图的一般形状 设系统的频率特性为： ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 + + + + + + = ω ω ω − ω τ ω τ ω τ ω ω n v v m j jT jT jT K j j j G j L L (n ≥ m) 则系统频率特性 Nyquist 图具有以下规律： 1． 当 ω = 0 时： 对 v 型系统， ( ) ( 90 ) 。 o ∠G jω = v × − 当 v = 0 时 ， G( jω) = K ； 当 v > 0 时 ， G( jω) = ∞ 。 2． 当 ω = ∞ 时，对 v 型系统， G( jω) = 0， ( ) ( ) ( 90 ) 。 o ∠G jω = n − m × − 3． 当 G(s)包含振荡环节时，不改变上述结论。 4．当 包含导前环节时，由于相位非单调下降， Nyquist 曲线将 发生弯曲。 G(s) 因此，从频率特性的 图中，可以识别系统的型次 及 其 传递函数分母与分子的最高阶次之差 Nyquist n − m 。这对于辨别系统的类 型很有益处。但是，需要说明的是，若系统传递函数中，存在位 于 s 平面右半平面的极点或者传递函数前有负号，上述结论是不 正确的。 表 4.2.1 列出了一些常见的 Nyquist 图