例7.计算心形线r=a(1+cos0)(a>0)与圆r=a 所围图形的面积· 解：利用对称性，所求面积 4+22r0-wr0 2+a23 +2c0+cos20)d0 2 1 (-2) OOo⊙⊙8
2 1+ 2cos + cos (1 cos 2 ) 2 1 + o a 2a x y (1 cos ) d 2 1 2 2 + a 例7. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , + 2 2 2 1 A = a = + 2 2 2 1 a a cos 2 )d 2 1 2cos 2 3 ( + + 所求面积 2) 4 3 ( 2 1 2 2 = a + a − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例8.求双纽线r2=a2cos20所围图形面积 解：利用对称性，则所求面积为 A=462 cos20 do 4 =a2cos2d(2) =a2sn20]=a2 思考：用定积分表示该双纽线与圆r=aW2sin0 所围公共部分的面积 答案1=20sm0d0+}0cos2010 Qao⊙o8
a sin 2 2 = a 例8. 求双纽线 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , cos2 d 2 1 2 a = 4 0 2 a cos 2 d(2 ) 则所求面积为 2 = a 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r = a 2sin 所围公共部分的面积 . A = 2 sin d 2 0 6 2 a cos 2 d 2 14 6 2 + a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x 4 = 4 = − 答案:
二、平面曲线的弧长 定义：若在弧AB上任意作内接折线，当折线段的最大 边长入→0时，折线的长度趋向于一个确定的极限，则称 此极限为曲线弧AB的弧长，即 Mi Mi s=lim∑M-M, 10 i=1 B=Mn A=Mo 并称此曲线弧为可求长的 x 定理：任意光滑曲线弧都是可求长的 (证明略) Oooo⊙O8
二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , = M0 Mi−1 Mi = Mn A B y o x 当折线段的最大 边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. Mi−1Mi 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) = n i 1 0 lim → = s 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称
(1)曲线弧由直角坐标方程给出： y=f(x)(a≤x≤b) 弧长元素（弧微分）： ds=/(dx)2+(dy) y y=f(x) ds =v1+y2dx (P168) 因此所求弧长 s-f+ydx a xx+dxb x -+2(x)dx oaoo®8
ds y o a b x (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: y = f (x) 弧长元素(弧微分) : x x + d x 1 y dx 2 = + 因此所求弧长 s y x b a 1 d 2 = + f x x b a 1 ( ) d 2 = + (P168) 2 2 ds = (dx) + (dy) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)曲线弧由参数方程给出： x=p(t) [y=v(t) (au≤t≤β) 弧长元素（弧微分）： ds=/(dx)2+(dy)2 Jo2(t)+w(t)dt 因此所求弧长 s=∫V92(0+2()d1 OoC①8
(2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 s (t) (t) dt 2 2 = + (t) (t) dt 2 2 = + 2 2 ds = (dx) + (dy) 机动 目录 上页 下页 返回 结束