三、函数的单调性 如图观察区间a,b上的单调递 增函数f(x)的图像,当x增大时, 曲线上任一点处的切线与x轴正 向夹角为锐角,即f(x)>0(个别点 处f(x)=0),反过来是否也成立0 b x 呢?我们有如下定理 定理2设函数f(x)在a,b]上连续,在(a,b)内 可导,则有 (1)如果在(a,b)内f(x)>0,则函数f(x)在 [a,b]上单调增加; 冈
如图观察区间[a,b]上的单调递 增函数 f (x)的图像，当 x增大时， 曲线上任一点处的切线与 x轴 正 向夹角为锐角，即 f (x) 0（个别点 处 f x ( ) 0 = ），反过来是否也成立 呢？我们有如下定理： 定理 2 设函数 f (x)在[a,b] 上连续，在(a,b) 内 可导，则有 （1）如果在(a,b)内 f (x) 0，则函数 f (x)在 [a,b]上单调增加； x y 0 a b 三、函数的单调性
(2)如果在(a,b)内f(x)<0,则函数f(x)在[a,b 上单调减少 证设x12x2是[a,b上任意两点,且x1<x2,由拉格 朗日中值定理有 f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1)(x1<5<x2) 如果f(x)>0,必有f(2)>0,又x2-x1>0 于是有f(x2)-f(x1)>0, 即f(x2)>f(x1),由于x12x2(x1<x2)是a,b]上任意 两点,所以函数f(x)在a,b上单调增加 同理可证,如果f(x)<0,则函数f(x)在[a,b]上 单调减少,证毕 冈
证 设 1 2 x , x 是[a,b]上任意两点,且 1 2 x x ，由拉格 朗日中值定理有 ( ) ( ) ( )( )( ) 2 1 2 1 1 2 f x − f x = f x − x x x . 如果 f (x) 0，必有 f ( ) 0，又x2 − x1 0， 于是有 f (x2 ) − f (x1 ) 0， 即 ( ) ( ) 2 1 f x f x ,由 于 1 2 x , x ( ) 1 2 x x 是[a,b] 上任意 两点，所以函数 f (x)在[a,b]上单调增加． 同理可证，如果 f (x) 0，则函数 f (x)在[a,b]上 单调减少，证毕． （2）如果在(a,b)内 f (x) 0，则函数 f (x)在 [a,b] 上单调减少．
函数单调区间的确定: (1)求出使f(x)=0的点(称这样的点为驻点) (2)用这些驻点将f(x)的定义域分成若干个子 区间,再在每个子区间上判断函数的单调性 例讨论函数f(x)=3x2-x3的单调性 解 因为f(x)=3x2-x3 所以f(x)=6x-3x2=3x(2-x) 令∫(x)=0得驻点:x1=0,x2=2,用它们将f(x)的 定义区间(-∞,+∞)分成三个部分区间:(-∞,0),(0,2), (2,+∞) 冈凶
函数单调区间的确定： （1）求出使 f (x) = 0的点（称这样的点为驻点）， （2）用这些驻点将 f (x)的定义域分成若干个子 区间，再在每个子区间上判断函数的单调性. 例 讨论函数 2 3 f (x) = 3x − x 的单调性． 解 因为 2 3 f (x) = 3x − x , 所以 '( ) 6 3 3 (2 ) 2 f x = x − x = x − x , 令 f (x) = 0得驻点：x1 = 0，x2 = 2,用它们将 f (x)的 定义区间(−,+)分成三个部分区间: (−,0)，(0,2)， (2,+)
x∈(-∞,0)时,有f(x)<0;当x∈(0,2)时f(x)>0 当x∈(2,+∞)时,f(x)<0,因此,由定理2知,函数f(x) 在区间(-∞,0)与(2,+∞)上单调减少,在区间(0,2)单调增 加 冈凶
当x(−,0)时，有 f (x) 0；当x(0,2)时 f (x) 0; 当x(2,+)时 ，f (x) 0，因此，由定理 2 知，函数 f (x) 在区间(−,0)与(2,+)上单调减少，在区间(0,2)单调增 加．
思考题 1.将拉格朗日中值定理中的条件f(x)“在 闭区间a,b上连续”换为“在开区(a,b)内连续” 后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明 2.罗尔(Ro1le中值定理是微分中值定理中 个最基本的定理.仔细阅读下面给出的罗尔中值定理 的条件与结论,并回答所列问题 罗尔(Ro1le)中值定理若f(x)满足如下3条 (1)在闭区间[an,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导; (3)在区间{a,b端点出的函数值相等,即 f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点,使 得∫(2)=0 冈凶
1． 将拉格朗日中值定理中的条件 f (x)“在 闭区间[a,b]上连续”换为“在开区(a,b) 内连续” 后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明． 罗 尔(Rolle)中值定理 若 f (x)满足如下 3 条: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) 在 区 间 [a,b] 端 点 出 的 函 数 值 相 等 , 即 f (a) = f (b),则在开区间(a,b)内至少存在一点 ,使 得 f ( ) = 0． 思考题 2． 罗尔(Rolle)中值定理是微分中值定理中一 个最基本的定理．仔细阅读下面给出的罗尔中值定理 的条件与结论,并回答所列问题．