华东理工大学：《信号与系统》课程教学资源（试卷习题）各章习题（含解答）

考虑到，0的连续性得 [y'r(0.)-y'r(0】+4yr(0,)-yr(0_】=1 得y0,)=1,y,(0,)=y,(0)=0 当t>0时，微分方程可化为 y"r()+4y'r()+4y()=2e 此方程全解为 y(t)=Ce-2+C2te-2+2e-1,120 代入初始值得 yr(0.)=C1+2=0 y,(0)=-2C1+C2-2=1 解以上两式得C,=-2,C2=-山则系统的零状态响应为 yr()=-2e-2-e-2+2e,t≥0 系统的全响应为 y0=y.(0+y0=-e2+3e2'+2e,t≥0 2.16描述系统的方程为 y'(t)+2y(t)=f(t)-f(t) 求其冲激响应和阶跃响应。 解：选取新变量少（②使它满足方程 y1+2y,(t)=f(t) 设其冲激响应为h()则有h,(0,)=1 此方程全解为h(0=C,e,1≥0 代入初始值得h(0,)=C,=1 则有h()=e2ε) 系统的阶跃响应为 h(t)=h'(t)-h(t)=6t-3e-εt) 系统的阶跃响应为 g((=h(x)dx=[[(x)-3e(x =e-c0 2.21求下列函数的卷积积分()*f(): (2)f0=e-ε()，50=()片 解：

考虑到 y (t) f 的连续性得 [ ' (0 )  ' (0 )]  4[ (0 )  (0 )]  1 f  f  f  f  y y y y 得 '(0 )  1, (0 )  (0 )  0  f  f  y y y 当t  0 时，微分方程可化为 t f f f y t y t y t e  ' ' ( )  4 ' ( )  4 ( )  2 此方程全解为 ( ) 2 , 0 2 2 2  1       y t C e C te e t t t t f 代入初始值得 ' (0 ) 2 2 1 (0 ) 2 0 1 2 1           y C C y C f f 解以上两式得 2, 1, C1   C2   则系统的零状态响应为 ( ) 2 2 , 0 2 2         y t e te e t t t t f 系统的全响应为 ( ) ( ) ( ) 3 2 , 0 2 2           y t y t y t e te e t t t t x f 2.16 描述系统的方程为 y'(t)  2y(t)  f '(t)  f (t) 求其冲激响应和阶跃响应。 解：选取新变量 ( ) 1 y t 使它满足方程 ' 2 ( ) ( ) 1 1 y  y t  f t 设其冲激响应为 ( ), 1 h t 则有 (0 ) 1 h1   此方程全解为 ( ) , 0 2 1  1   h t C e t t 代入初始值得 (0 ) 1 h1   C1  则有 ( ) ( ) 2 1 h t e t t    系统的阶跃响应为 ( ) '( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 1 1 h t h t h t t e t t        系统的阶跃响应为 ) ( ) 2 1 2 3 ( ( ) ( ) [ ( ) 3 ( )] 2 2 e t g t h x dx x e x dx t t t x               2.21 求下列函数的卷积积分 ( ) ( ) 1 2 f t  f t ： （2） ( ) ( ), ( ) ( ); 2 2 1 f t e t f t t t      解：

原式=es(0*e()=广e-2r(r)t-t)dr =erdr…e0=20-e)e0 (4)f0=e-ε)，f5)=eε()： 解： 原式=e-s)*e-e()=e-rs(r)e--xt-t)dr =ee'dre()=(e-e-)e() (6)f(0)=(t+2),f5()=t-3方 解： 原式=(t+2)*(t-3) =[e(t)*(t)]*[6(1+2)*6(t-3)] =t(t)*δ(t-1)=(t-1)s(t-1) (8)f(t)=t8(t),f2(t)=ε(t)-ε(t-2)方 解： 原式=e0*e0*[o0-60-2训=产e0*[o0）-6u-2刃 -a0--2ret-2y 0,1<0 ={0.52,0≤1≤2 2t-1),1>2 223试求下列LTI系统的零状态响应，并画出波形图。 四)1时播由 f( (c) (d) (3)输入信号f()如图(c)所示，)=e'() 解：由输入信号的∫(0的波形图可得 f3()=2[ε()-(1-1] 则系统的零状态响应为

(1 ) ( ) 2 1 ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 e d t e t e t t e t d t t t                           原式  （4） ( ) ( ), ( ) ( ); 3 2 2 1 f t e t f t e t t t       解：                    t t t t t t t e e d t e e t e t e t e e t d 0 3 2 3 2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( )           原式   （6） ( ) ( 2), ( ) ( 3); f 1 t   t  f 2 t   t  解： ( )* ( 1) ( 1) ( 1) [ ( )* ( )]*[ ( 2)* ( 3)] ( 2) * ( 3)            t t t t t t t t t t t        原式   （8） ( ) ( ), ( ) ( ) ( 2 ); f 1 t  t t f 2 t   t   t  解：                      2( 1), 2 0.5 ,0 2 0, 0 ( 2) ( 2) 2 1 ( ) 2 1 ( ) *[ ( ) ( 2)] 2 1 ( ) * ( ) *[ ( ) ( 2)] 2 2 2 2 t t t t t t t t t t t t t t t t t t   原式        2.23 试求下列 LTI 系统的零状态响应，并画出波形图。 （3）输入信号 ( ) 3 f t 如图（c）所示，h(t) e (t); t    解：由输入信号的 ( ) 3 f t 的波形图可得 ( ) 2[ ( ) ( 1)] f 3 t   t   t  则系统的零状态响应为

y5()=3(t)*h(t) =2[s(t)-(t-1)]*eε(t) =2[6(t)-6(t-1)]*[1-e)s(t] =2[1-e)()-(1-e)s(t-1] 0,1<0 ={21-e),0≤t≤1 21-e)e--l),t>1 (4)输入信号f4()如图(d)所示，h()=2[ε(t+1)-(t-1小 解：由激励才()的波形图可得 f4(t)=e(t+1)-2(t)+(t-1) 则系统的零状态响应为 y()=f4()*h(t) =[c(t+1)-2()+e(t-1]*[2ε(t+1)-2ε(t-1)] =[6(t+1)-2δ(t)+6(t-1)]*ε(t)*(t)*[2δ(1+1)-26(1-1)] =21(t)*[6(t+1)-26(t)+δ(t-1]*[6t+1)-δ(t-1)] =28(t)*[6(t+2)-26(t+1)+26(t-1)-2δ(t-2)] =2[(1+2)(t+2)-2(1+1)(t+1)+2(t-1)s(t-1)-(t-2)e(t-2)]

                                  2(1 ) , 1 2(1 ),0 1 0, 0 2[(1 ) ( ) (1 ) ( 1)] 2[ ( ) ( 1)]*[(1 ) ( )] 2[ ( ) ( 1)]* ( ) ( ) ( ) * ( ) ( 1) 1 3 3 e e t e t t e t e t t t e t t t e t y t f t h t t t t t t t t f         （4）输入信号 ( ) 4 f t 如图（d）所示，h(t)  2[ (t 1)   (t 1)]; 解：由激励 ( ) 4 f t 的波形图可得 ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1) f 4 t   t    t   t  则系统的零状态响应为 2[( 2) ( 2) 2( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) ( 2) ( 2)] 2 ( ) *[ ( 2) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 2)] 2 ( ) *[ ( 1) 2 ( ) ( 1)]*[ ( 1) ( 1)] [ ( 1) 2 ( ) ( 1)]* ( ) * ( ) *[2 ( 1) 2 ( 1)] [ ( 1) 2 ( ) ( 1)]*[2 ( 1) 2 ( 1)] ( ) ( ) * ( ) 4 4                                              t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t y t f t h t f                           

交f⑩ 3.1试求以下序列fk)的差分△()、f(k)与求和 0,k<0 =分，k≥0 解： ∫(k)的闭式表达式为 f=(分ε() Afk)=fk+1)-f(k)=(宁)ε(k+)-()ε(k) 0,k<-1 =(分58k+)-8(k]=1k=-1 -(宁，k≥0 f)=f)-fk-)=(宁ε)-（分sk-) 0,k<0 =(分*[s()-2k-川=1k=0 -(分，k≥1 立f0-2()=2门s 0,k<0 =p-兮s-2-920 3.2求齐次差分方程的解： )-2k-=0,0=1 解： 此方程的齐次解为 )=Ck≥0 将初始条件代入得 H0)=C°=c=1 则齐次方程的解为 )=(宁ε() 3.3求以下齐次差分方程的解： k)-2y(k-1)+2yk-2)-2yk-3)+k-4)=0, y(0)=0,y1)=1,y(2)=2,y(3)=5

3.1 试求以下序列 f (k) 的差分f (k) 、f (k) 与求和  k i f (i) 。 f (k)         ) , 0 2 1 ( 0, 0 k k k 解： f (k) 的闭式表达式为 ) ( ) 2 1 f (k) ( k k                             ) , 0 2 1 ( 1, 1 0, 1 ( 1) ( )] 2 1 ) [ 2 1 ( ) ( ) 2 1 ) ( 1) ( 2 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1 1 k k k k k f k f k f k k k k k k k                            ) , 1 2 1 ( 1, 0 0, 0 ) [ ( ) 2 ( 1)] 2 1 ( ) ( 1) 2 1 ) ( ) ( 2 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1 k k k k k f k f k f k k k k k k k                       ) , 0 2 1 2 ( 0, 0 ) ] ( ) 2 1 [2 ( ) ] ( ) 2 1 ) ( ) [ ( 2 1 ( ) ( 0 k k k f i k k k k k i k k i k k i    3.2 求齐次差分方程的解： ( 1) 0, (0) 1 2 1 y(k)  y k   y  。 解： 此方程的齐次解为 ) , 0 2 1 y(k)  C( k  k 将初始条件代入得 ) 1 2 1 (0) ( 0 y  C  C  则齐次方程的解为 ) ( ) 2 1 y(k) ( k k   3.3 求以下齐次差分方程的解： y(k)  2 y(k 1)  2y(k  2)  2y(k  3)  y(k  4)  0, y(0)  0, y(1)  1, y(2)  2, y(3)  5