高于或至少不低于晶体所属点群的对称性 这个原理是长期来大量事实总结出来的,并且已经经过大量 实验检验证明是正确的 例如,在立之晶系中,光学性质决定于介电常数张量,而光学 性质是各向同性的(即有球对称性),显然高于晶体所属点群的对 称性在前一节中,我们讨论的对称性对张量的制约,实际上已经 用了诺伊曼原理 诺伊曼原理的应用当然不仅限于矢量(一阶张量)和“阶张 量,而且适用于鬲阶张量.诺伊曼原理的应用,需要对张量分量逐 个地进行计算,而阶数越高,计算越繁.现在,我们介绍一种简便 的方法,即下标亚换法 例如,考虑四方点群C4中的某阶张量T假定C;平行于 x3轴,则其变换矩阵为 (2.56) 001 即经过变换后,*x2,x2*x1,x3→x3,若将面负号与下标 结合,则可简写为1→2,2+-1,3→3.于是二阶张量分量的变换 为 1t-x(xt=.x22= t. x2(-x1) x1、3 3 )=T 342 T t3. r 3 t3=xi. 3=T33 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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按晶体的对称性,应有T,=T于是可得 所以此二阶张量具有以下形式 0 T 再考虑到是二阶对称张量,应有T1=T2,于是最后得二阶对称 张量形式为 上 与前节结果相同 这种下标型换法应川于高阶张量带来很人方便,这将在以后 有关章节中遇到 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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3.晶体的力学性质 晶体的力生性质涉及的范围很广,如解理、硬度、弹性形变、范 性形变等在本章中,我们只讨论用张量描述的性质,主要是应力 应变和弹性等基本概念及其与晶体对称性的关系.这些性质是现 代弹性力学的基础 3.1应力与应力张量 、应力 我们说一个物体处于受力状态,-般有两种情况:…种情况是 物体整个体积受力并且力的大小与物体的体积成正比,这称为彻体 力例如重力;另一种情况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作 用而发生形变时,在物体内部的任一部分和它周围相邻部分之间将 产生相互作用门,这种力的大小与相接触部分表而积的大小成正 比,而力与面积之比就称为应力.本节讨论的是应力很小的情况 这种小应勹的产生从微观本质来分析是属于弹性恢复力.物 体在不受外力作用而无形变时,物体中的分子都处于平衡位置 旦物体受外力怍用发生形变,分子就偏离其平衡位置.此时每个分 子受周围分子的作用产生一个趋向于使其恢复到平衡位置的力, 这就是弹性恢。力.对每个分子而言,弹性恢复力显然和形变的剧 烈程度有关,而在一定的形变条件下,参与作用的分子数越多,弹 性恢复力就越大,所以,由于形变,物体内某·部分和其周围相邻 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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部分之间的相作用力的大小与接触部分的面积大小成比例 由于在许多不同情况下,应力所作用的面积取向具有任意性, 而通过该面的作用力方向也具有任意性,因而必须选取确定的坐 标系来描述应刀并规定一定的描述方法 为此,我们规定一定的符号,用σ表示应力,此处i,=1,2, 3,第一下标i示沿i坐标正方向作用的力,第下标j表示力 作用于与j坐标垂直的面上 由于i,j的取值各有3个 所以a,共有9个,为了表示 物体中某一点的应力状态, 我们可以围绕文一点取一个 无穷小立方体,将各σ;表示 出来,如图3.1所示此处图 中只画出正面的三个面上的 11 应力符号,由千应力总是成 对地出现,因而背面的三个 面上也有与相对面上相同的x1 但方向相反的应力 图3.J物体屮点的应力状态 由图可见,σ;是与面垂 直的应力,称为正应力,张应力为正,压应力为负;当i≠j时,o是 沿着面的应力称为切应力 二、应力张量 图3.1示的是个特殊情况,因为我们在这里所取的立方 体面都是坐标平面.但是在一般情况,我们需要表示出通过此点的 任意面上的应力.在所考虑的点附近取一个小的四面体,如图3.2 所示.设斜面ABC上所受作用力为P,而ABC面的法线方向为l, 其方向余弦为l1,2,l3,现在来讨论P与l的关系 31 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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由于这一个小四面体处于力平衡状态,即此小两面体没有整 体的运动,因此汁任何方向看,它所受到的合力应为零.我们从 个坐标轴方向看,沿x1方向的合力为 P1·△A-q1·△BC-an·△n △AOB 即 △A P1=oI△ABC △4BC △AOB △ABC △BOC △ABC =41,△OOA △ABC △AOB △ABC=23 所以 图3.2物体中…点上任意平面上的应力 P=dulI+ onl2+o13l3 同理,可以写出P2和P3的方程,此处P,P2,P3为P的分量,最 后得 1,2,3) (3.1) 可见,将矢量P和矢量!联系起来,d1共有9个分量,是一个二 阶张量,表为{o,] 习題3.1证玥[o,(i,=1,2,3)符合二阶怅量的数学定义 习題3.2由力的平衡条件,证明{a,]为一阶对称张量 由于[a;]是二阶对称张量,只有6个独立分量,其中a,=o, 于是为了简化,可使用简化下标将应力张量表为 2 (3.2) 32 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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