第三节夫琅和费衍射( Fraunhofer diffraction) 与傅立叶变换( Fourier transformation) 傅里叶变换的定义 对于一个可积的复函数f(x,y),做积分 F(u,v)=∫∫f(x,y)exp[-i2n(x+y)axh 天津大学精仪学院 称F(u,v)是f(x,y)的傅里叶变换 对F(uν)做傅里叶逆变换,得到f(x,y) f(x,y)=「∫F(,v)exp[i2x(x+y)hchv f(x,y)和F(u,v)互为傅里叶变换对。 天津大学作 24
1 一、傅里叶变换的定义 称 是 的傅里叶变换。 对于一个可积的复函数 ，做积分 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )exp[ 2 ( )] ( , ) F u v f x y F u v f x y i xu yv dxdy f x y = − + − = + − f x y F u v i xu yv dudv F u v f x y ( , ) ( , )exp[ 2 ( )] ( , ) ( , ) 对 做傅里叶逆变换，得到 f ( x,y )和F(u,v )互为傅里叶变换对。 第三节 夫琅和费衍射（Fraunhofer diffraction） 与傅立叶变换（Fourier transformation）
f(x,y)=∫∫F(u,v)expi2m(xy)ch 天 津傅里叶变换的意义: 大 学 函数f(x,y)可以分解为无穷多个不同 精 仪 频率()基频函数exp2z(x+y)的 学 院 组合,而每个函数所占的权重是 F(u, v)dudy 天津大学作 24
2 。 组合，而每个函数所占的权重是： 频率 的基频函数 的 函数 可以分解为无穷多个不同 傅里叶变换的意义： F u v dudv u v i xu yv f x y ( , ) ( , ) exp[ 2 ( )] ( , ) + − f (x, y) = F(u,v)exp[i2 (xu + yv)]dudv
二、光衍射和傅里叶变换 1夫琅和费衍射和傅里叶变换 对于夫琅和费衍射 ∞ E(x,y)=CJ JE(x1, y1 )exp[-ik(xx1 +wy1) f ]dxdy ∞2 一 其中C= 1expik(f+x2+y 2f 天津大学精仪学院 若设: u= = 则有:E(u,v)=C∫E(x1,y1)exp[-i2(ux1+yi)]dx1dy ∞ 除常数项外,夫琅和费衍射的复振幅分布E(u,v是衍射物体复 振幅分布E(x1,y1)的傅里叶变换。 天津大学制作 3 24
3 , f y v f x u = = l l 振幅分布 的傅里叶变换。 除常数项外，夫琅和费衍射的复振幅 分布 是衍射物体复 则有： 若设： 其中 对于夫琅和费衍射 夫琅和费衍射和傅里叶变换 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) exp[ 2 ( )] )] 2 exp[ ( 1 ( , ) ( , ) exp[ ( )/ ] 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 E x y E u v E u v C E x y i ux vy dx dy f x y ik f i f C E x y C E x y ik xx yy f dx dy − − = − + + = + = − + l 二、光衍射和傅里叶变换
例:狭缝函数 f(x) f(x) 2 0其它 天津大学精仪学院 F(u)=5 exp(-i2xu)dx lexp(-incua)-exp(inua) 2u sin( ud 天津大学作 24
4 sin( ) [exp( ) exp( )] 2 1 ( ) exp( 2 ) 0 2 1 x ( ) 2 2 ua ua a i ua i ua i u F u i xu dx a f x a a = − − − = = − = − 其它 例：狭缝函数 f (x) x 2 a 2 a −
sin(ud F(u=a 将 代入上式得: sIn(t 天津大学精仪学院 sin(asing SIna F(x=a f C a sin e 与通过夫朗和费衍射积分求解方法得到的结果相同。 天薄大学制华 24
5 sin( ) ( ) ua ua F u a = 将 f x u = l 代入上式得： sin( ) sin( sin ) sin ( ) sin x a a f F x a a a x a a f l l l l = = = 与通过夫朗和费衍射积分求解方法得到的结果相同