简化下标与双下标关系如下 11,22,33.23,31,l (3.3) I,2,3,4,5,6 有时也将[on用简化下标写成单列或单行矩阵形式 或(a,σ2σ3d4σ5σ6) (3.4) 这样做是为了讨论问题方便,并可以使用矩阵的运算方法进行运 算.但要注意上式只是矩阵形式,不表现张量的性质,其中6个分 量的前3个为正应力,后3个为切应力 三、应力张董的示性面 应力张量的示性面称为应力曲面,其方程为 ∑∑,x1x,=1(i,j=1,2,3) (3.5) 如图3.3所示 P△S 在主轴化的情况下,应力曲面方 程为 a1x+a2x:+a3x3=1 (3.6) 其半轴长度分别等于1/σ1, l/a2,1/√σ,由于σ1,a2,a3中每 个都可正可负,所以这个二次曲面 图3.3应力曲面 叮以是椭球面,也可以是双曲面 经过面元△S传递的力P△S的方向,可以根据径矢和法矢的 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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性质从应力曲面上求出作平行于【、长度为r的径矢,与曲面交 于Q,于是,矢量P将平行于Q点的曲面法线.若Q点在曲面的 某一个主轴上,则有P|l.根据曲面的几何性质,径矢长度r给 出由面单元△S传专递的正应力,郎σ=1/2.若方向任意,则沿l 方向的应力值为 a1l2+a212+l (3.7) 四、应力张量示例 例1,设三个主应力相等且均为负值,即σ1=a2=03=-p 则应力张量为 0 0 这种情况的实例是流体静压力,应力曲面为球面,因此沿任何方向 的单位面积上的力都相等,并且都是正应力而没有切应力 例2,若两个主应力为零,只有1=≠0,则应力张量为 00 00 这称为单轴向应力,实例是在·个竖直长棒下端持有重物时棒中 所受的应力 例3,如果三应力之一为零,设a3=0,则应力张量为 00 0 000 这种情况的实例是在个薄片边缘受到作用力时,如果 a1=-a,d2=a,即薄片处于xx2平面内而沿x2方向为张力,沿 x1方向为压力它们的数值相等.这时的张量为正应力形式 34 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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000 但是,如果我们作坐标变换,取新坐标系x1x2x绕原坐标系 x1x2x3的x3轴旋转45°,可以证明应力张量变为纯切应力形式 0 00 000 这时的x'3=3轴称为切应力轴 由此可见,在同一物体中的应力状态,由于坐标轴的选取和选 择物体中的作用面积的方向不同,应力的形式也不同 习题3.3证明应力张量的止应力形式经坐标变换后可变为纯切应力 形式 0 00 习题3.4设有石英晶体,其应力状态用绩晶坐标系表示时如下 10-50 5200Ncm2 0030 试求:(1)正应力极值大小,(2)最大和最小的正应力作用的平面的取向 习题3.5设…个晶体的应力状态由以下张量给出 I o 0 今有…平面,其法线位于xx2平面内并与x1轴交成a角,求作用于此平面 上的正应力和切,立力 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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3.2应变与应变张量 维应变 如果取一根无限长可拉伸的炫,取空间-一点为原点O,则当 弦被拉伸时,弦上·点P被移至 P,茁近P点的Q点移至Q,设 尸)=x,OP=x+u,令PQ=4x, or+u 则P()-△x+△,如图3.4所示, △【+△w 于是矩义P点的应变为 图3.4弦的立伸形变 △ d. (3.8) 即应变是位移对坐标的导数 、二维应变 现在考虑如何描述一个受拉伸的平询薄片的形变.与上述步 骤一样,选择一固定在空间的平面坐标x1x2,设平面薄归上P 点的坐标为(x1,x2),形变后移到P,坐标为(x11a1,x2+2), 如图3.5所示.量u就是P点的位移.为了给出薄片上这一点 P(r,x2) 图3.5维应变 36 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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的应变,先定义凹个量 E 或缩写为 (i,;=1,2 3.9) 所有c都是无量纲的量在P点附近取点Q,取PQ=[△x.], 形变后P移到3,Q移到Q,则欠量PQ等于L△x:;]+L△v1,此 处[△u;]是P利Q两点的位移差.由于分量x;是坐标的函数,叮 以写成 d x△ △t1+ (3.10) 或缩写为 △ △x,(i 1,2) (3.11) 由于[u;]和[△x,]都是矢量,因此en形成二阶张量 下面考查下矢量[△x;屮行于x1和x2的两个特殊位置 并找出预点在P点的直角单元Q2PQ1是怎样畸变的,如图3.6 所示 对于PQ1,△x2=0,式(3.10)变为 △ △ (3.12 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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