是反对称张量T表为 0 T T (2.16) T 习题2.9设张量T在旧坐标系中有T=±T,证明在新坐标系中仍 有T6=±T,即其对称或反对称的性质不变 、张蛋的分解 作为张量加法的逆运算,张量总可以分解为若干个同阶张量 之和,并且这种分解的方法是无穷多种的例如,矢量的分解即为 例 定理:任何张量总可以分解为一个对称张量和一个反对称张 量之和,并且分解的方法是唯一的 为证明此短理,先引人共轭张量的概念.若1,(i,=1,2,3) 为张量,则可以证明,T(,=1,2,3)也是张量,我们称T,(t, =1,2,3)和T(,=1,2,3)互为共轭张量.例如 rTTTT TTTTTT 23 和 T (2.17) 13 23 互为共轭张量 习題2.10T(,j=1,2,3)为张量,证明:T,(i,=1,2,3)也为张 量 习題2.11证明对称张量是自轭的,反对称张量是负自轭的 现在来证明张量分解定理:设有张量T,我们假定它可以分 解为对称张量s和反对称张量A之和,即 18 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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T= s+A (2.18 取两边的共轭张量,于是有 r 而S=S,A=-A,所以 T。=S-A 19) 由式(1.18)及(1.19)解得 (T+T。),A (T-T) (2.20) 从对称张量和反对称张量定义考查,式(2.20)确实成立,所以假定 成立.而式(2.2C)是唯一确定的,所以T的分解方法是唯一的.于 是定理得证 习题2.12试将并矢ab分解成对称的和反对称的两部分 三、对称张量的示性面 般说来,描述晶体物理性质的张量都是对称张量,例如,表 2.1中所列的都是对称张量.所以,我们以后要讨论的张量都是对 称张量.现在我们考虑如下次曲面方程 7=1 (221) 当T=T时,即为 Tux1+ T2x:+ T3x3+ 2T23C223+2T31ZiT2+ 2Tu2CII2 1 当所有T均为王时,上式的图形为椭球面在一般情况下,上式可 以为双曲面,不过这并不影响下面讨论所得的结论,因此,以下仅 就椭球面的情况讨论之 因为空间一点的坐标x1,x2,x3,实际上是矢量r的分量,所 以在坐标变换时,各x的变换关系出式(2.9)和(2.10)决定.于 是,将式(2.21)变换到新坐标系,则得 19 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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C∑∑aa,xx1=1 而同一椭球面在新坐标系中仍应有以下形式 比较上两式,立即得 asi a 可见,式(2.21)T实际上是张量的分量,因此,由式(2.21)绘出 的曲面称为张量的示性面 四、张量的主轴和主值 张量示性面的一个重要特性是它具有三个相互垂直的主轴, 这是空间解析厂何已经证明过的对于对称张量,经过一定的坐标 变换之后,总可以化成以下形式 T1x2+T2x2+T3x3=1 2 此时的坐标轴私为主轴,而对称张量T则化为对角线形式 00 T20 此时的T1,T2,T3则称为主值 五、示性面法矢与径矢的关系 现以电导率张量说明张量示性面上一点的法矢与径矢的关 系.如图2.1所小,设示性面的方程为 G1+σ2、x2+3x=.1 (2.23) 即电导率张量为 00 0 00 20 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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即 δ;( 1,2,3) (2.24) 设电场强度E分量为 E :E( (2.25) 此处l;为E的方向余弦,它也是通 过P点的径矢r的方向余弦,因r 的分量为 l2x(i=1,2,3)(2.26 由欧姆定律J=σE得 J F E l;E(2.27) 可见,J的方向余弦正比于σl1 (i=1,2,3) 图2.1示性面法矢与径矢的关系 另-方面,由式(2.23)知椭球面上P点的法矢即为函数 F(x1,x2,x3)a1x+a2x2+a3x3=1在P点的梯度(VF)p,而 aF F aF (VF) (2a1l1E,2a2l2E,2d3l3E)(2.28) 所以法矢n也平行于o,l1(i=1,2,3) 可见,在臥姻定律J=σ·E中,若配为通过张量椭球面上 点的径矢,则J为通过此点的法矢 这一结论可以推广到任意对称张量:设对称张量T联系到两 个矢量,具有关系式 p=T·q (2.29) 若q为通过张量椭球面上一点的径大,则p为通过此点的法矢 六、张量主轴和主值的确定 根据上述怅量椭球面上一点的径矢与法矢的关系,我们可如 下求张量的主油和主值:在主轴方向上,径矢和法矢方向相同,故 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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此处λ为常数.上式可写为 △(T-A8,)9=0(=1,2,3) (2.31) 式(231)为q1:q2,q的齐次线性方程组,其非零解条件为 T21 r F 33 由此可解得λ的三个根,每-个λ值代入式(2.30)可得一组q 这就是一个主轴的方向.经过坐标变换,以主轴为坐标轴,张量T 即变为对角线形:式 (2.33) 此处λ1,λ2,久3即为λ的三个根.可见,的三个根即为张量的主 值 习题2.13试将以下张量化为对角线形式 80 b.0120 3106 86 2.5张量与对称性的关系 、晶体对称操作乍的变换矩阵 在直角坐标系中,每…个对称操作对应于将旧坐标系变换为 新坐标系,所以它对应于一个坐标变换,可以用9个新旧坐标系之 2 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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