比较两边e的同类项系数,立即得 (2.9) 这就是矢量分量由旧坐标到新坐标的变换关系式.同样,如果在式 (28)右边代入坐标变换关系式(2.6),则得矢量分量由新坐标到 旧坐标的变换关系式为 (2.10) 现在反过,我们定义:若有一组数p1,p2,3,当坐标旋转 后变为p1,p2,p3,并且满足式(2.9)和(2.10)的关系,则这 组数构成一个矢量. 习题2.2p为标量,证明(=1,2,3)为矢量 习题2.3如果p和q(=1,2,3)为矢量,那么P/q(i=1,2,3)是否 也为矢量 习题2.4如果X(=1,2,3)为欠量,证明》为标量 三、张量分量的变换 仍以电导率张量为例,各向异性情况下的欧姆定律为 E;(i=1,2,3) (2.11) 坐标变换到新坐标系以后有 (i=1,2,3) (2.12) 因J和E均为矢量,应满足式(19和(1.10)的关系,所以 Er =J SGRE 13 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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比较E,的同类项系数,立即得 同样,可得新坐际到旧坐标的变换为 (2.14) 式(213)和1(214)的关系不仅适用于电导率,而且也适用于 其他二阶张量.于是我们可以反过来定义二阶张量:若有一组9 个数on,坐标变换后变为an,且满足式(2.13)和(2.14),则这 组数构成一个二阶张量 习题2.5设A(i=1,2,3)为矢量,讦明并矢AA,(i,y=1,2,3)为 阶张景 四、张量的数学定义 综合以卜纟果我们叫以将冬阶张量定∨Ⅶ下,当坐标系 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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三阶张量,弹性槙量等为四阶张量等等.不过,二阶张量是最常遇 到的,所以通常所说的张量主要是指二阶张量 以上张量的定义的物理实质在于:一个张量代表着一个物理 量,这个物理量遵从一定的物理定律,丽不依赖于坐标系的选择方 法当坐标系变换时,物理量并不改变,只是描述的方法随之而变 因此,当坐标系变换时,张量的分量应有随之而变的规律,这就是 上述的数学定义 还需指出;并不是随便9个数都能构成一个二阶张量,正如并 不是随便3个数都能构成一个矢量一样 与赝标量和质矢量的概念相同,我们可以引入赝张量概念,而 将前述的张量秘为极张量.腰张量与张量的区别仅只在于其分量 的变换在第二鹚点操作时多了一个符号的改变,或者说,在其分量 变换的表达式中含有变换矩阵的行列式,即,对于N阶腰张量,其 定义为 =aii aisay aird 显然,对于第一类点操作,因有an=1,所以赝张量的表现与极 张量相同但对于第二类点操作,因有|ai|=-1,所以张量的 变换比极张量多了一个负号 作为零阶臢张量之例,前面已提到旋光率.一阶赝张量之例有 各种轴矢量.二阶腰张量之例有描述晶体旋光性的回转张量.一般 而言;一个极张量和一个质张量之间的关系是—个赝张量,而两个 赝张量之间的系是一个极张量 并不是晶体的所有各向异性性质就必须用张量描述例如折 射率n;=√E;是各向异性的,但它不是张量,因为它不符合张量变 换规律. 习题2.6已知压电效应的物理定律为 P dat(i=1,2,3) 式中P(=1,2,3)为电极化矢量,ck(k,l=1,2,3)为应力张量(二阶张量), 35 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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近明压电效应系数d(i,,!=1,2,3)为阶张量 2.3张量的运算 张量的加法 若A,Bi,j=1,2,3)皆为阶张量,则可证明C;=A B(i,=1,,3)也是二阶张龍,于是我们定义C为A;,B之 和.这就是二阶张量的加法,并表为C=A+B 习题2.7E知A,6(i,j-1,2,3)为-阶张量,证明C=A+B (i,=1,2,3)也是阶张量 依此类推,若A,B为两个同阶量,则A,B相应分量之和构 成的新的同阶张墩C,称为A,B之和,表为C=A+B 同样,作为加法的推广,标量λ与张量T,(i,=1,2,3)的乘 积即为张量AT,(i,=1,2,3 、张量的乘法 若A(i,j=1,2,3)为二阶张量,B(i=1,2,3)为一阶张量, 则可以证明C=A,B(i,,k=1,2,3)为三阶张量,于是我们定 义C为A与E之积,表为C=AB 习题2.8已知A(i=1,2,3)为矢量,证明A1A4(i,,k=1,2,3)为 三阶张量 依此类推,若A,B是阶数各为m,n的张量,则A,B分量的 积构成个m+n阶的新的张量C,称为A,B的积,表为 C=AB 三、张量的收缩 在二阶张量A(t,,=1,2,3)中,如果计j三k,并对j求 和,即 16 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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则C(i=1,2,3)为一阶张量此种运算称为张量的收缩.这种运 算所得张量的阶数比原张量的阶数少2 特别是:当C为两个张量A,B的积,例如Cm=ABm(i, j,,l,m=1,2,3),若令k=l,并对k求和,即 Ait B 则称D为A,B收缩所得的张量,阶数为3=5-2,表为D=A形 收缩可以不止一次,例如对两对下标求和,则称为收缩两次 例如 ∑>A 所得张量Q的阶数为1=5-2×2,表为Q=A:B 2.4对称张量的性质 、对称张量和反对称张量 张量T的分量如有关系T=T,则称为对称张量.此种张量 只有6个独立分量:T1,T22,T3,T23=T3,TBt=T1,T1=T2 有时,我们将这6个独立分量依次表为T(i=1,2,3,4,5,6),于是 对称张量T表为 T To Ta Ik TT (2.15) Is T4 T 如果T的分量有关系T=-T,则称为反对称张量.此时有 T=0,故反对称张量只有3个独立分量:T23=-T,T31=-TB3, T12=-T21同样,我们有时将这3个分量依次表为T4T5,T6,手 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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