晶体中某一个面的表小方向稍为复杂一些.如果这个面在个坐 标轴上的截距为,,,而L::1=h:h:,此处h:k:为 最简整数比,则将这个面表为(hk),称为指数 对于六方晶系和三方晶系,面指数的表示方法要增加…个指 数,因为这两种昌系采用的坐标系是四轴坐标系,a,b,d在同 平面,相交成f0角,有a+b+d-的关系,c垂直于此平面 晶体中某一个面在这四个坐标轴上截距倒数的最简整数比如果是 h,k,,l,则面指数表为(hki) 在晶体中,由晶体所具有的对称操作联系起米的一组点、一组 方向和一组平面构成等效点、等效方和等效面.例如,在立方 晶系中,点群mm的对称操作有48个,对称要素有三个4轴,四 个3轴,六个2轴,九个反映面,个反演中心(3C4(36C29mi), 于是,任意一点的等效点有48个,任意…个方向的等效方向和任 意一个平面的等效平面也都有48个只在一昢恃殊情况下,等效 数目才会成倍地减小等效方向的符号用尖头括号,等效面的符号 用花括号.例如∶100].[10],「010!,10],[H)1],[001]属于同 个等效方向,表习〈100);(100),(100),(010),(010),(001),(001) 属于同一个等效面,表为{100 最后要强调指出,本章所介纤的只是晶体学知识的很少…部 分.晶体学是晶体物理学的预备课程,读者应该在读过晶体学之后 学习晶体物理学 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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2.张量的基本知识 品体的各向异性是它的基本特性之,从而品体的物理性质 也都具有各向异性性质为了描述晶体宏观上表现出来的各向异 牲,要表达个物理定律所需要的方程式通常比表达个各向同 性物质所需要的方程式数目要多得多.对此,们探索出一套描述 各向异性性质的数学方法,这就是张量方法 在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的.由于晶体的 对称操作只涉及三维正交直角坐标系中的变换,所以我们在本章 中将只限于介绍这种坐标系中所定义的张量 2.1标量、矢量、张量 、标量 在物理学中,有一些量是没有方向性的,如密度温度等.这些 物理量只需要一个数值即可描述,称为标量 有些量虽然在坐标变换时数值不变,但其符号在第二类点操 作时发生改变,这称为赝标量 矢量 在物理学中,有一些量是有方向性的,如力、电场强度、温度梯 度等.这些物浬量需要指明其大小和方向才能完全描述,称为矢 量取直角坐乐系,坐标抽为OX1,OX2,OX3.设有矢量∫,在二个 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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坐标轴方向的投影为f1,f2,f3于是我们将∫表为 f=(f1,f2,f3) (2.1) 与赝标量概念柑似,我们可以引入赝矢量概念.赝矢量与矢量 的区别只在于其变换多了一个符号的改变.例如各种轴矢量(磁场 强度、磁感应强度等)就是赝矢量 张量 我们先看一八例子:例如,对于均匀导体,在电场强度E的作 用下,其电流密度J与E有相同方向,而J的大小与E的大小成 正比,这就是欧婚定律 ok 或表为分量形式 J:=o;(i=1, 此处a称为电导名,是标量.但是,对于晶体,由于各向异性,般 情况下J与E并不具有相同的方向此时,J与E的关系变为 J1=σ1E1+σ:2E2+σ13E J2=σ21E1+a22E2+d23E3 (2.2) 3- d3L Er+onE2+ 033E3 或表为分量形式 (2.3) 此处a不再是一个数,而是9个数将这9个数排成方阵 (2.4) 称为电导率张量,这是二阶张量、于是,各向异性晶体中的欧姆定 律可表为 10 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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般说来,在物理学中,有一些量需要用9个分量来描述,这 种物理量就是二阶张量 表2.1列出了一些用二阶张量描述的性质 衰21一些用二阶张量描述的物理性质 怅性质(T))作用矢量(v)|感生矢量(p)关系式=∑r 电导率(G;) 电场强度(E,)电流密度(,) 介电常数(e) 电场强度(E)电感应强度(D)卩=E 介电不渗透性《)电感应强度(1)电场强虔(E,)F:=212 热导率(k) 海度梯度(-。2)热流密度(h) h 2ki 电极化率(x场强度(E)电极化强度(n)户=2xE 2.2张量的数学定义 描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关就是说,当 坐标轴变换讨,矢量和张量的所有分量都随之变换,但作为描述物 理量的矢量和张量本身是不变的.因此,分量的变换必有一定的规 律这就是现在要讨论的 、坐标变换 设有直角坐标系OX1K2X3,其三个方向的单位矢为e1,e2, e3,经过旋转变换为新的坐标系OX1X2X3,在新坐标系里的 单位矢为et,e2,e3.令新坐标系中e;在旧坐标系中的方向余 弦为a4(j=1,2,3),则 ei=a iei+ a12e2 t a13e3 e2÷ a21e1 Fa2e2+a23e3 a31eI t a32 ez t a33 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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或简写为 e a :e (2.6) 反之,汨坐标系中单位矢e以新坐标系中单位矢e;表小的关系 为 ;e,(i:1,2,3) (2.7) 以上关系若表为方阵形式则为 于是,我们称9个a,组成的方阵为坐标变换矩阵或方向余弦 矩阵 习题2.1证明2=户- 二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,3,在新坐 标乐中的分量为力1,p2,p3.由于是同一个矢量p,故有 p= p 力2e2+pe3=p t p 或 p; e (2.8) 将坐标变换关系式(2.7)式代入左边,得 pie; p:>a, e p 于是 anip 力e 12 PDF文件使用" pdffactory"试用版本创建ww, fineprint,cn
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