《概率论与数理统计》课程教学课件（讲义）第二章 随机变量及其分布 第三讲 多维随机变量（打印版）

目录第二章随机变量及其分布1$2.4多维分布1边缘分布4$2.5i

8 ¹ 1Ù ‘ÅCþ9Ù©Ù 1 §2.4 õ‘©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §2.5 >©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 i

第二章随机变量及其分布82.4多维分布在实际应用中，经常需要对所考虑的问题用多个变量来描述.我们把多个随机变量放在一起组成向量，称为多维随机变量或者随机向量例2.4.1.从一付扑克牌中抽牌时，可以用纸牌的花色和数字来说明其特征.例2.4.2.考虑一个打靶的试验.在靶面上取定一个直角坐标系.则命中的位置可由其坐标(X,Y)来刻划.X,Y都是随机变量定义2.4.1.设X=(X1,..,Xn)．如果每个X都是一个随机变量，=1,.，n，则称X为n维随机变量或者随机向量我们可以按照对常用一维随机变量的分类把常用的随机向量分为离散型和连续型的.定义2.4.2.如果每一个X,都是一个离散型随机变量，i=1,,n，则称X=(X1,.,Xn)为一n维离散随机变量．设X,的所有可能取值为[ail,ai2,}，i=1,..,n，则称(2.4.1)p(ii,...,jn)=P(Xi = ali....,Xn =anin), Ji,....jn =l,2,...为n维随机变量X的概率函数容易证明概率函数具有下列性质(1)p(ji,...,jn)≥0,ji=1,2,.., i=1,2,...,n(2) E p(ji,...,jn) =1.71...7例2.4.3.设A1，..·，An为某一实验下的完备事件群，即A1，，An两两互且和为2。记pk=P(Ak)(k=1,..,n)，则pk≥0,p1+..+pn=1。现将实验独立的重复作N次，分别用X,表示事件A出现的次数(i=1,，n)。则X=（X1,.,Xn）为一离散型随机向量，试求X的概率函数。此分布律称为多项分布，记为M(N;p1，...,Pn).1

1Ù ‘ÅCþ9Ù©Ù §2.4 õ‘©Ù 3¢SA^¥§²~I‡é¤Ä¯K^õ‡Cþ5£ã. ·‚rõ‡‘ÅCþ 3å|¤•þ§¡õ‘‘ÅCþ½ö‘Å•þ. ~ 2.4.1. lGÀŽý¥Äýž, Œ±^’ýsÚÚêi5`²ÙA. ~ 2.4.2. ć‹qÁ. 3q¡þ½‡†‹IX. K·¥ Œdً I(X, Y )5y. X,Y Ñ´‘ÅCþ. ½Â 2.4.1. X = (X1, . . . , Xn). XJz‡XiÑ´‡‘ÅCþ§i = 1, · · · , n§K ¡Xn‘‘ÅCþ½ö‘Å•þ. ·‚Œ±Uìé~^‘‘ÅCþ©ar~^‘Å•þ©lÑ.ÚëY. . ½Â 2.4.2. XJz‡XiÑ´‡lÑ.‘ÅCþ§i = 1, ., n§K¡X = (X1, . . . , Xn) n‘lёÅCþ. Xi¤kŒUŠ{ai1, ai2, · · · }, i = 1, . . . , n, K¡ p(j1, · · · , jn) = P(X1 = a1j1 , . . . , Xn = anjn ), j1, ., jn = 1, 2, . (2.4.1) n‘‘ÅCþXVǼê. N´y²VǼêäke5Ÿ: (1) p(j1, . . . , jn) ≥ 0, ji = 1, 2, · · · , i = 1, 2, . . . , n; (2) P j1,··· ,jn p(j1, . . . , jn) = 1. ~ 2.4.3. A1, · · · , An,¢e¯‡+§=A1, · · · , Anüüp½…ڏΩ"Ppk = P(Ak)(k = 1, . . . , n)§Kpk ≥ 0, p1 +· · ·+pn = 1"yò¢Õá­EŠNg§©O^XiL «¯‡AiÑygê(i = 1, · · · , n)"KX = (X1, . . . , Xn) lÑ.‘Å•þ§Á¦X VǼê"d©ÙÆ¡õ‘©Ù, PM(N; p1, . . . , pn). 1

解：由于试验独立进行，总的结果数为N，记结果A,出现的次数为k，则ki+.+kn=N。因此相当于多组组合，所以N!P(Xi=ki,..*,Xn=kn)=P(Ai...Ai...An...Anki!...kn!N!kil...npfi..pha..其中k1,...,kn为非负整数且ki+..+kn=N.我们来看一下X，的分布：此时我们把试验结果分为两类，A和A，则显然就是一个N重贝努里试验，因此P(Xi = ki) =)pk(1- p)N-kt,ki =1,..,N.类似我们也可以找出(X,X,)(i≠i)的联合分布律，即为M(N,pi,Pj,1-pipi).我们具体来看一下二维离散分布.设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值为[(ri,yi)：i=1,.n,j=1,2..,m}．我们经常以列联表的形式来表示二维离散型随机变量的概率分布.记Pij=P(X=r,,Y=yi), i=l,...n,j=l,..m.则(X,Y)的概率函数可以下表表示：X行和a122TnYy1P11PnlP21p.192P12Pn2p.2P22:..:主...目Ympimp2mpnmp.m列和1P1.P2..Pn.例2.4.4.从一个包含五个黑球，六个白球和七个红球的罐子里抽取四个球.令X是抽到白球的数目，Y是抽到红球的数目：则二维随机变量(X,Y)的概率函数为() ()(--)p(r,y) =0<+y<4(2.4.2)()以列联表表示，即为2

): duÁÕá?1, o(JêN§P(JAiÑygêki§Kk1 +· · ·+kn = N" Ïdƒuõ||ܧ¤± P(X1 = k1, · · · , Xn = kn) = N! k1! · · · kn! P(A1 · · · A1 . . . An · · · An) = N! k1! · · · kn! p k1 1 · · · p kn n , Ù¥ k1, . . . , kn šKê… k1 + · · · + kn = N. ·‚5weXi©Ùµdž·‚rÁ(J©üa, AiÚA¯ i§Kw,Ò´ ‡N­ãpÁ§Ïd P(Xi = ki) =  N ki  p ki i (1 − pi) N−ki , ki = 1, · · · , N. aq·‚Œ±éÑ(Xi , Xj )(i 6= j)éÜ©ÙƧ=M(N, pi , pj , 1 − pi − pj ). ·‚ä N5we‘lÑ©Ù. ‘lÑ.‘ÅCþ(X, Y )¤kŒUŠ{(xi , yj ) : i = 1, ., n, j = 1, 2, ., m}. ·‚²~±éL/ª5L«‘lÑ.‘ÅCþVÇ© Ù. P pij = P(X = xi , Y = yj ), i = 1, ., n, j = 1, ., m. K(X, Y )VǼꌱeLL«: ❍ Y ❍❍❍❍❍❍ X x1 x2 · · · xn 1Ú y1 p11 p21 · · · pn1 p·1 y2 p12 p22 · · · pn2 p·2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ym p1m p2m . . . pnm p·m Ú p1· p2· · · · pn· 1 ~ 2.4.4. l‡¹Ê‡ç¥, 8‡x¥Úԇù¥-fpÄo‡¥. -X´Ä x¥ê8, Y ´Äù¥ê8. K‘‘ÅCþ(X, Y )VÇ¼ê p(x, y) = ￾ 6 x
￾7 y
￾ 5 4−x−y
￾ 18 4
, 0 ≤ x + y ≤ 4. (2.4.2) ±éLL«, = 2

X0123行和4A01021021536125T204丽亚丽亚嘉113718234%列和1类似于一维连续型随机变量，连续型随机向量的也是由密度函数来刻画的定义2.4.3.称X=(X1...,Xn)为n维连续型随机变量，如果存在Rn上的非负函数f(r1，.n)，使得对任意的-o0<ai≤bi<+o0,.,-0<an≤bn<+oo,有P(ai≤Xi≤bi..,an≤Xn≤bn) =f(ai,..,an)dai...dan,(2.4.3)则称f为X的概率密度函数.对n维随机变量我们也有分布函数的概念定义2.4.4.设X=（Xi....,Xn)为n维随机变量.对任意的(a1,...,an）ERn，称(2.4.4)F(r1,...,an) =P(Xi ≤r1,...,Xn ≤an)为n维随机变量X的(联合)分布函数可以验证分布函数F(a1....,n)具有下述性质(1)F(ai,，n)对每个变元单调非降；(2)对任意的1≤j≤n有，limF(r1,..,an)=0;lim(3)F(ri, ,rn) = 1.3

❍ Y ❍❍❍❍❍❍ X 0 1 2 3 4 1Ú 0 1 612 1 51 5 102 5 153 1 204 11 102 1 7 306 7 51 35 204 7 153 77 204 2 7 102 7 34 7 68 7 17 3 35 612 7 102 77 612 4 7 612 7 612 Ú 99 612 22 51 11 34 4 51 1 204 1 aqu‘ëY.‘ÅCþ, ëY.‘Å•þ´dݼê5x. ½Â 2.4.3. ¡X = (X1, . . . , Xn)n‘ëY.‘ÅCþ§XJ3R nþšK¼êf(x1, . . ., xn)§¦é?¿−∞ < a1 ≤ b1 < +∞, ., −∞ < an ≤ bn < +∞, k P(a1 ≤ X1 ≤ b1, ., an ≤ Xn ≤ bn) = ˆ bn an . ˆ b1 a1 f(x1, . . . , xn)dx1 · · · dxn, (2.4.3) K¡fXVÇݼê. én‘‘ÅCþ·‚k©Ù¼êVg. ½Â 2.4.4. X = (X1, . . . , Xn)n‘‘ÅCþ. é?¿(x1, . . . , xn) ∈ R n§¡ F(x1, . . . , xn) = P(X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn) (2.4.4) n‘‘ÅCþX(éÜ)©Ù¼ê. Œ±y©Ù¼êF(x1, . . . , xn)äkeã5Ÿ: (1) F(x1, · · · , xn)éz‡CüNšü; (2) é?¿1 ≤ j ≤ nk§ lim xj→−∞ F(x1, · · · , xn) = 0; (3) lim x1→∞,··· ,xn→∞ F(x1, · · · , xn) = 1. 3

对n维连续型随机变量，从密度的定义我们有，F(ri,...,an) =f(ri,.,an)dri...dan对高维离散型随机变量，一般我们不使用分布函数例2.4.5.考虑二维随机变量X=(X1,X2)，其概率密度函数为1/[(b-a)(d-c)] 当 a≤i≤b, c≤r2≤d,f(1,2)=0其它.称此概率密度为[a,b]×[c,d]上的均匀分布例2.4.6.设(X,Y)的概率密度函数有形式11[( -a)?(r-a)(y-b)(y-b)2f(r,y) =2(1-p2) /2元0102V1-p20102a20i其中-0< a,b<80, 0<1,02<0,-1≤p≤1. 称(X,Y)服从参数为a,b,α1,2,p的二元正态分布，记为N(a,b,i,2,p)82.5边缘分布设(X1..Xn)为n维随机变量，其概率分布F已知令Xi..Xi为Xi,..Xn的任一子集，则Xi.Xi…的分布称为X1.Xn或F的一个m维边缘分布..我们先考虑离散型随机向量.设二维离散随机变量(X,Y)的所有可能取值为(ai,yi)：i,j=1,2.}，则(Xx,Y)的联合分布律为P(X = ri,Y =yi) = piji=1,...,n,j=1,2,...,m以列联表的形式表示就是X行和T122..EnAy1P11...Pn1p.1P21P12..92P22Pn2p.2::::主...:PimYmP2mPnmp-m列和1P1.P2.Pn...4

én‘ëY.‘ÅCþ, lݽ·‚k, F(x1, . . . , xn) = ˆ xn −∞ . ˆ x1 −∞ f(x1, ., xn)dx1.dxn. ép‘lÑ.‘ÅCþ, „·‚ئ^©Ù¼ê. ~ 2.4.5. Ä‘‘ÅCþX = (X1, X2)§ÙVÇÝ¼ê f(x1, x2) = ( 1/[(b − a)(d − c)]  a ≤ x1 ≤ b, c ≤ x2 ≤ d, 0 Ù§. ¡dVÇݏ[a, b] × [c, d]þþ!©Ù. ~ 2.4.6. (X, Y )VÇݼêk/ª f(x, y) = 1 2πσ1σ2 p 1 − ρ 2 exp  − 1 2(1 − ρ 2)  (x − a) 2 σ 2 1 − 2ρ (x − a)(y − b) σ1σ2 + (y − b) 2 σ 2 2  Ù¥−∞ < a, b < ∞, 0 < σ1, σ2 < ∞, −1 ≤ ρ ≤ 1. ¡(X, Y )Ñlëêa, b, σ1, σ2, ρ ©Ù§PN(a, b, σ2 1 , σ2 2 , ρ). §2.5 >©Ù (X1, ., Xn)n‘‘ÅCþ§ÙVÇ©ÙF®. -Xi1 , ., XimX1, ., Xn? f8§KXi1 , ., Xim©Ù¡X1, ., Xn½F‡m‘>©Ù. ·‚kÄlÑ.‘Å•þ. ‘lёÅCþ(X, Y )¤kŒUŠ{(xi , yj ) : i, j = 1, 2, · · · }§K(X, Y )éÜ©ÙƏ P(X = xi , Y = yj ) = pij i = 1, ., n, j = 1, 2, ., m. ±éL/ªL«Ò´ ❍ Y ❍❍❍❍❍❍ X x1 x2 · · · xn 1Ú y1 p11 p21 · · · pn1 p·1 y2 p12 p22 · · · pn2 p·2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ym p1m p2m . . . pnm p·m Ú p1· p2· · · · pn· 1 4