目录第三章随机变量的数字特征1数学期望(均值)及中位数2$3.1数学期望283.1.1数学期望的性质$3.1.24$3.1.3条件期望6中位数83.1.48i
✽ ➵ ✶♥Ù ➅➴❈þ✛ê✐❆✍ 1 §3.1 ê➷Ï✧(þ❾)✾➙➔ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 §3.1.1 ê➷Ï✧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 §3.1.2 ê➷Ï✧✛✺➓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §3.1.3 ❫❻Ï✧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §3.1.4 ➙➔ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 i
第三章随机变量的数字特征教学目的：1)理解随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差.2）掌握二项分布、Poisson分布、均勾分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差3）会根据随机变量的概率分布计算其函数的数学期望4）理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念5)理解大数定理与中心极限定理。在前章中，我们讨论了随机变量的概率分布，这种分布是随机变量的概率论性质最完整的刻画.而随机变量的数字特征是某些由随机变量的分布所决定的常数，它刻画了随机变量或者说刻画了其分布的某一方面的性质，这些性质往往是实际应用中人们比较关心的．例如，我们在了解某一行业工人的经济状况时，我们首先关心的恐怕会是其平均收入，这会给我们一个总体的印象，而收入的分布状况，倒不一定是最重要的，这就是刻画总体平均值的数学特征，另一类重要的数字特征，是用来衡量随机变量取值的分散程度，还拿我们上个例子说明，如果我们考虑两个行业工人的经济状况，他们的平均收入大体相近，但是一个行业收入分配较平均，即大多数人的收入都在平均值上下不远处分散程度就小另一个行业则相反，其收入远离平均值很多，分散程度就大，这两者的实际意义当然很不相同.平均值和分散度是刻画随机变量性质的两类最重要的数字特征除了这两者之外，对于多维变量而言，还有一类刻画各分量之间关系的数字特征，较为常用的是协方差和相关系数，这些我们将在下面的章节详细讨论.数字特征另一个重要意义在于，当我们不知道随机变量的确切概率分布，但是清楚其数字特征的情形下，我们可以根据这些数字特征推断该随机变量大致的概率性质。比如某个工厂生产一批灯泡，我们想了解这批灯泡的质量如何，我们不知道这批灯泡寿命的确切概率分布，但是如果我们知道这批灯泡的平均寿命，知道这批灯泡寿命的分散程度，那我们就可以大致推断出这批灯泡的质量状况1
✶♥Ù ➅➴❈þ✛ê✐❆✍ ✓➷✽✛: 1) ♥✮➅➴❈þ✛ê➷Ï✧✦➄☛✛❱❣, ➾➡✩❫➜❶✛➘✢✺➓❖➂ä◆➞Ù✛ Ï✧✦➄☛. 2) Ý➸✓➅➞Ù✦Poisson➞Ù✦þ✦➞Ù✦➁ê➞Ù✦✔✕➞Ù✛ê➷Ï✧Ú➄☛. 3) ➡❾â➅➴❈þ✛❱➬➞Ù❖➂Ù➻ê✛ê➷Ï✧. 4) ♥✮✍➄☛✦❷✬❳ê✛❱❣, Ý➸➜❶✛✺➓, ➾➡⑤❫ù✡✺➓❄✶❖➂, ✡✮ Ý✛❱❣. 5) ♥✮➀ê➼♥❺➙✪✹⑩➼♥✧ ✸❝Ù➙, ➲❶❄Ø✡➅➴❈þ✛❱➬➞Ù, ù➠➞Ù➫➅➴❈þ✛❱➬Ø✺➓⑩ ✑✒✛➃①. ✌➅➴❈þ✛ê✐❆✍➫✱✡❞➅➴❈þ✛➞Ù↕û➼✛⑦ê, ➜➃①✡ ➅➴❈þ➼ö❵➃①✡Ù➞Ù✛✱➌➄→✛✺➓, ù✡✺➓✥✥➫➣❙❆❫➙❁❶✬✖ ✬✪✛. ⑦❳, ➲❶✸✡✮✱➌✶➆ó❁✛➨▲●➵➒, ➲❶➘❦✬✪✛➍ù➡➫Ù➨ þ➶❭, ù➡❽➲❶➌❻♦◆✛❁➊, ✌➶❭✛➞Ù●➵, ✏Ø➌➼➫⑩➢❻✛, ùÒ➫ ➃①♦◆➨þ❾✛ê✐❆✍. ✱➌❛➢❻✛ê✐❆✍, ➫❫✺ïþ➅➴❈þ✒❾✛➞Ñ ➜Ý. ❸❁➲❶þ❻⑦❢❵➨, ❳❏➲❶⑧➘ü❻✶➆ó❁✛➨▲●➵, ➛❶✛➨þ➶ ❭➀◆❷❈, ✂➫➌❻✶➆➶❭➞✛✖➨þ, ❂➀õê❁✛➶❭Ñ✸➨þ❾þ❡Ø✎❄, ➞Ñ➜ÝÒ✂; ✱➌❻✶➆❑❷❻, Ù➶❭✎❧➨þ❾éõ, ➞Ñ➜ÝÒ➀, ùüö✛➣ ❙➾➶✟✱éØ❷Ó. ➨þ❾Ú➞ÑÝ➫➃①➅➴❈þ✺➓✛ü❛⑩➢❻✛ê✐❆✍. Ø✡ùüö❷✠, é✉õ➅❈þ✌ó, ❸❦➌❛➃①❼➞þ❷♠✬❳✛ê✐❆✍, ✖➃ ⑦❫✛➫✍➄☛Ú❷✬❳ê, ù✡➲❶ò✸❡→✛Ù✦➁❬❄Ø. ê✐❆✍✱➌❻➢❻ ➾➶✸✉, ✟➲❶Ø⑧✗➅➴❈þ✛✭❷❱➬➞Ù, ✂➫➌ÙÙê✐❆✍✛➐✴❡, ➲❶ ➀➧❾âù✡ê✐❆✍íä❚➅➴❈þ➀➋✛❱➬✺➓. ✬❳✱❻ó❶✮✗➌✶✢✔, ➲❶➂✡✮ù✶✢✔✛➓þ❳Û. ➲❶Ø⑧✗ù✶✢✔➷➲✛✭❷❱➬➞Ù, ✂➫❳❏ ➲❶⑧✗ù✶✢✔✛➨þ➷➲, ⑧✗ù✶✢✔➷➲✛➞Ñ➜Ý, ❅➲❶Ò➀➧➀➋íä Ñù✶✢✔✛➓þ●➵. 1
83.1数学期望(均值)及中位数$3.1.1数学期望数学期望也称均值，是随机变量的一个最基本的数字特征.我们先看如下的一个例子例3.1.1.一甲乙两人赌技相同，各出赌金100元，约定先胜三局者为胜，取得全部200元现在甲胜2局乙胜1局的情况下中止，问赌本该如何分？解：如果继续赌下去而不中正，则甲有3/4的概率整胜，而胜的概率为1/4所以在电胜2局乙胜1局的这个情况下，甲能期望“得到”的数目，应当确定为3.1200X=150（元）+0x474而乙能“期望”得到的数目，则为31200×++0×=50（元）如果引进一个随机变量X，X等于在上述局面（甲值2胜乙1胜）之下，继续赌下去甲的最终所得，则X有两个可能的值：200和0，其概率分别为3/4和1/4.而甲的期望所得即X的“期望”值，即等于X的可能值与其概率之积的累加这就是“数学期望”这个名称的由来，另一个名称“均值”形象易懂，也很常用，下面我们就给出数学期望(均值)的定义：对一般的离散型分布，我们有定义3.1.1.设X为一离散型随机变量，其分布律为P(X=ri)=pi,i=1,2,.如果≥[eilpi<+o,则称=18Eaipi=1为随机变量X的数学期望(均值）用符号EX表示：若lripi=+8o，则称X的数学期1望(均值)不存在2
§3.1 ê➷Ï✧(þ❾)✾➙➔ê §3.1.1 ê➷Ï✧ ê➷Ï✧➃→þ❾, ➫➅➴❈þ✛➌❻⑩➘✢✛ê✐❆✍. ➲❶❦✇❳❡✛➌❻⑦ ❢ ⑦ 3.1.1. ➌❵➥ü❁Ù❊❷Ó, ❼ÑÙ✼100✄, ✕➼❦➅♥Ûö➃➅, ✒✚✜Ü200✄. ②✸❵➅2Û➥➅1Û✛➐➵❡➙➂, ➥Ù✢❚❳Û➞? ✮: ❳❏❯❨Ù❡✖✌Ø➙➂, ❑❵❦3/4✛❱➬✒➅, ✌➥➅✛❱➬➃1/4. ↕➧, ✸❵ ➅2Û➥➅1Û✛ù❻➐➵❡, ❵❯Ï✧“✚✔”✛ê✽, ❆✟✭➼➃ 200 × 3 4 + 0 × 1 4 = 150(✄), ✌➥❯“Ï✧”✚✔✛ê✽, ❑➃ 200 × 1 4 + 0 × 3 4 = 50(✄). ❳❏Ú❄➌❻➅➴❈þX, X✤✉✸þãÛ→(❵❾2➅➥1➅)❷❡, ❯❨Ù❡✖❵ ✛⑩➟↕✚, ❑X❦ü❻➀❯✛❾: 200 Ú0, Ù❱➬➞❖➃3/4Ú1/4. ✌❵✛Ï✧↕✚, ❂X✛“Ï✧”❾, ❂✤✉ X✛➀❯❾❺Ù❱➬❷➮✛❭❭ ùÒ➫“ê➷Ï✧”ù❻➯→✛❞✺. ✱➌❻➯→“þ❾” ✴➊➫➹, ➃é⑦❫. ❡→➲❶ Ò❽Ñê➷Ï✧(þ❾)✛➼➶: é➌❸✛❧Ñ✳➞Ù, ➲❶❦ ➼➶ 3.1.1. ✗X➃➌❧Ñ✳➅➴❈þ, Ù➞Ù➷➃ P(X = xi) = pi , i = 1, 2, · · · ❳❏ P∞ i=1 |xi |pi < +∞, ❑→ X∞ i=1 xipi ➃➅➴❈þX✛ê➷Ï✧(þ❾), ❫❰ÒEX▲➠. ❡ P∞ i=1 |xi |pi = +∞, ❑→X✛ê➷Ï ✧(þ❾)Ø⑧✸. 2
对连续型随机变量，其数学期望的定义如下定义3.1.2.如果连续型随机变量X具有密度函数f(r)，则当[rlf(r)da<00时，我们将积分rf(r)da的值称为X的数学期望，记作EX.如果[|f(r)dr = 0,则称X的数学期望不存在，下面求解几种常见分布的数学期望.1.二项分布X~B(n,p):nn!>EX:=k.kl(n-k)!k=0n-l(n -1)!p(1 -p)n-1-inp. i(n -1-)一np2.Poisson分布X~P(>)EX=>3.正态分布XN(μ,g2):(zμ)2EXdaCV2元g1e-y°/2dy(αy +μ).V2元X=H4.均匀分布X~U[a,b]:a+bEX =25.指数分布X~Erp(>):EX =1/)3
éë❨✳➅➴❈þ, Ùê➷Ï✧✛➼➶❳❡ ➼➶ 3.1.2. ❳❏ë❨✳➅➴❈þXä❦➋Ý➻êf(x), ❑✟ ˆ ∞ −∞ |x|f(x)dx < ∞ ➒, ➲❶ò➮➞ ˆ ∞ −∞ xf(x)dx ✛❾→➃X✛ê➷Ï✧, P❾EX. ❳❏ ˆ ∞ −∞ |x|f(x)dx = ∞, ❑→X✛ê➷Ï✧Ø⑧✸. ❡→➛✮❆➠⑦❸➞Ù✛ê➷Ï✧. 1. ✓➅➞ÙX ∼ B(n, p): EX = Xn k=0 k. n! k!(n − k)!p k (1 − p) n−k = np. nX−1 i=0 (n − 1)! i!(n − 1 − i)!p i (1 − p) n−1−i = np 2. Poisson ➞ÙX ∼ P(λ): EX = λ 3. ✔✕➞ÙX ∼ N(µ, σ2 ): EX = ˆ +∞ −∞ x √ 2πσ e − (x−µ) 2 2σ2 dx = ˆ +∞ −∞ (σy + µ). 1 √ 2π e −y 2/2 dy = µ 4. þ✦➞ÙX ∼ U[a, b]: EX = a + b 2 5. ➁ê➞ÙX ∼ Exp(λ): EX = 1/λ 3
例3.1.2.设r.v.X的分其律为x = (-1=2，k=1,2,则X的数学期望不存在。解：由于(-1)2/1+α下kk=1k=1因此X的数学期望不存在。而尽管Z(-1)2% 1Z(-1)1=-ln2K2Kkk=1k=1例3.1.3.（Cauchy分布)设1TERp(r)=元(1 +2)则：该分其的期望不存在解：容易看出,p(c)非负，并且1+dap(r)drarctanrm=1所以p(r)是一个密度函数(称为Cauchy分布)，但是2[a|p(r)da =dr=001 + r2所以Cauchy分布的期望不存在．#83.1.2数学期望的性质1.若干个随机变量线性组合的期望，等于各变量期望的线性组合.假设c1,C2，..,Cn为常数，则有E(ciX1+C2X2+...+CnXn)=CiEXi+C2EX2+...+CnEXn这里假定各变量的期望都存在4
⑦ 3.1.2. ✗r.v. X✛➞Ù➷➃ P X = (−1)k 2 k k = 1 2 k , k = 1, 2, · · · ❑X✛ê➷Ï✧Ø⑧✸✧ ✮: ❞✉ X∞ k=1 |(−1)k 2 k k | 1 2 k = X∞ k=1 1 k = +∞ Ï❞X✛ê➷Ï✧Ø⑧✸✧✌➛✰ X∞ k=1 (−1)k 2 k k 1 2 k = X∞ k=1 (−1)k 1 k = −ln2. ⑦ 3.1.3. (Cauchy➞Ù)✗ p(x) = 1 π(1 + x 2) , x ∈ R, ❑: ❚➞Ù✛Ï✧Ø⑧✸. ✮:◆➫✇Ñ,p(x)➎❑, ➾❹ ˆ ∞ −∞ p(x)dx = 1 π ˆ ∞ −∞ 1 1 + x 2 dx = 1 π arctan x ∞ −∞ = 1, ↕➧p(x)➫➌❻➋Ý➻ê(→➃Cauchy➞Ù), ✂➫ ˆ ∞ −∞ |x|p(x)dx = 2 π ˆ ∞ 0 x 1 + x 2 dx = ∞, ↕➧Cauchy➞Ù✛Ï✧Ø⑧✸. # §3.1.2 ê➷Ï✧✛✺➓ 1. ❡❩❻➅➴❈þ❶✺⑤Ü✛Ï✧, ✤✉❼❈þÏ✧✛❶✺⑤Ü. ❜✗c1, c2, . . . , cn ➃⑦ê, ❑❦ E(c1X1 + c2X2 + · · · + cnXn) = c1EX1 + c2EX2 + · · · + cnEXn, ù♣❜➼❼❈þ✛Ï✧Ñ⑧✸. 4