《概率论与数理统计》课程教学课件（讲义）第二章 随机变量及其分布 第五讲 随机变量的函数的分布（打印版）

目录第二章随机变量及其分布182.7随机变量的函数的概率分布1i

8 ¹ 1Ù ‘ÅCþ9Ù©Ù 1 §2.7 ‘ÅCþ¼êVÇ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 i

第二章随机变量及其分布82.7随机变量的函数的概率分布最简单的情形，是由一维随机变量X的概率分布去求其一给定函数Y=g(X)的分布。较常见的，是由(X1,X2,，Xn)的分布去求Y=g(X1,X2,,Xn)的分布。更一般地，由(X1,X2,，Xn)的分布去求(Y1,Y2,**，Ym)的分布，其中Y=gi(Xi,X2,,Xn)，i1,2,...,m.这一部分内容，与数理统计中求统计量的分布有密切的联系。1.离散型随机变量的情形设X的分布律为P(X =ri) =pi, i=1,2, g:R→R，令Y=g(X)，则Y的分布律为P(Y =yi)= P(g(X)=yj)= P(X =ri)= Prg(r:)=9j:g(ri)=9j例2.7.1.设X的概率函数为2X-10P/1/41/21/81/8试求Y=X2，Z=X3+1的分布律。解：容易求得Y的分布律为：041/23/81/8LZ的分布律9Z0211/8P1/41/21/81

1Ù ‘ÅCþ9Ù©Ù §2.7 ‘ÅCþ¼êVÇ©Ù {üœ/§´d‘‘ÅCþXVǩ٦ى½¼êY = g(X)© Ù"~„§´d(X1, X2, · · · , Xn)©Ù¦Y = g(X1, X2, · · · , Xn)©Ù"„/§ d(X1, X2, · · · , Xn)©Ù¦(Y1, Y2, · · · , Ym)©Ù§Ù¥Yi = gi(X1, X2, · · · , Xn), i = 1, 2, · · · , m" ùÜ©SN§†ênÚO¥¦ÚOþ©ÙkƒéX" 1. lÑ.‘ÅCþœ/ X©ÙƏ P(X = xi) = pi , i = 1, 2, · · · g : R → R§-Y = g(X)§KY ©ÙƏ P(Y = yj ) = P(g(X) = yj ) = X xi:g(xi)=yj P(X = xi) = X i:g(xi)=yj pi ~ 2.7.1. XVÇ¼ê X -1 0 1 2 P 1/4 1/2 1/8 1/8 Á¦Y = X2 , Z = X3 + 1©ÙÆ" ): N´¦Y ©ÙƏ: Y 0 1 4 P 1/2 3/8 1/8 Z©ÙÆ Z 0 1 2 9 P 1/4 1/2 1/8 1/8 1

上述结论可以推广到多维随机变量的情形设随机向量X的分布律为P(X=)，则X的函数Y=g(X)的分布律为P(Y =y)=P(g(X) =y) = P(X =a)r:g(r)=y特别当s,n是相互独立的非负整值随机变量，各有分布律[ak]与[bk)那么+n有分布律2Eaxbn-kP(+n=n) =k=0称此公式为离散卷积公式例2.7.2.设X~B(n,P)，Y~B(m,p)且X和Y相互独立，则X+Y~B(n+m,p)。这种性质称为再生性。可推广至多项和：设X，～B(ni,P),i=1,2,，m)，且Xi,X2,.,Xm独立，则有X,~B(ZCni,p)。特别，若Xi,X2,*，Xn为独立同分布，且X,~B(1,p)，i=Bi=11,..·，n.则有：ZX；～B(n,p)。此结论揭示了二项分布与0-1分布之间的密切关系。i=i例2.7.3.设X～P(入)，Y～P(μ)，且X和Y独立，则有X+Y～P(入+μ)。即Poisson分布亦具有再生性，且可推广。2.连续型随机变量的情形定理2.7.1.[密度变换公式/设随机变量X有概率密度函数f(r)，E(a,b)(a,b可以为oo),而y=g(r)在aE(a,b)上是严格单调的连续函数，存在唯一的反函数 =h(y),yE(α,β)并且h(y)存在且连续，那么Y=g(X)也是连续型随机变量且有概率密度函数p(y) = f(h(y)[h'(y)l,y E (α,β),例2.7.4.设随机变量X～U(-，)，求Y=tgX的概率密度函数。由密度变换公式知Y的概率密度函数为1f(u) = 1_arctg(u) = (1 +y)"-8<y<82

þã(،±í2õ‘‘ÅCþœ/: ‘Å•þX©ÙƏP(X = x)§KX¼êY = g(X)©ÙƏ P(Y = y) = P(g(X) = y) = X x:g(x)=y P(X = x) AOξ, η´ƒpÕášKŠ‘ÅCþ§ˆk©ÙÆ{ak}†{bk}. @oξ + ηk©ÙÆ P(ξ + η = n) = Xn k=0 akbn−k ¡dúªlÑòÈúª ~ 2.7.2. X ∼ B(n, p)§Y ∼ B(m, p)…XÚY ƒpÕá§KX +Y ∼ B(n+ m, p)"ù«5 Ÿ¡2)5"Œí2õ‘ÚµXi ∼ B(ni , p),(i = 1, 2, · · · , m)§…X1, X2, · · · , XmÕ á§Kk: Pm i=1 Xi ∼ B( Pm i=1 ni , p)"AO§eX1, X2, · · · , XnÕáÓ©Ù§…Xi ∼ B(1, p), i = 1, · · · , n. Kk: Pn i=1 Xi ∼ B(n, p)"d(Ø« ‘©Ù†0 − 1©Ùƒmƒ'X" ~ 2.7.3. X ∼ P(λ)§Y ∼ P(µ)§…XÚY Õá§KkX + Y ∼ P(λ + µ)"=P oisson© Ù½äk2)5§…Œí2" 2. ëY.‘ÅCþœ/ ½n 2.7.1. [ÝC†úª] ‘ÅCþXkVÇݼê f(x), x ∈ (a, b)(a, bŒ±∞), y = g(x)3x ∈ (a, b)þ´î‚üNëY¼ê§3‡¼êx = h(y), y ∈ (α, β)¿ …h 0 (y)3…ëY§@oY = g(X)´ëY.‘ÅCþ…kVÇݼê p(y) = f(h(y))|h 0 (y)|, y ∈ (α, β). ~ 2.7.4. ‘ÅCþX ∼ U(− π 2 , π 2 ), ¦Y = tgXVÇݼê" dÝC†úªY VÇÝ¼ê f(y) = 1 π arctg0 (y) = 1 π(1 + y 2) , −∞ < y < ∞ 2

此分布称为Cauchy分布。本题我们也可以用一般的方法求解，即先求出分布函数，然后对分布函数求导数得到。F(y) = P(Y≤y) =P(tg(X)≤y)arctg(y)1Y1= P(X ≤arctg(y)) =arctg(y)+2:dy=元A所以Y的概率密度为1(c) =F(c) = 元(1 +)这种方法更具有一般性。注：当9不是在全区间上单调而是逐段单调时，密度变换公式为下面的形式：设随机变量的密度函数为pe()，a<a<b.如果可以把(a,b)分割为一些(有限个或可列个)互不重叠的子区间的和(a,b)=U,j，使得函数u=g(t)，tE(a,b)在每个子区间上有唯一的反函数h;(u)，并且h,(u)存在连续，则n=g(s)是连续型随机变量，其密度函数为：Pr() =Zpe(h;(a)[h;(r)l(2.7.1)例2.7.5.设X~N(0,1)，求Y=X2的概率密度。解：由于函数y=r在(-o,0)和[0,8)上严格单调，因此由上述定理知Y的概率密度为f(g) = (-V)|-V'(y>0) +(v)lVl(y>0)1y-e-(y>0)V2元定理2.7.2.设($1,S2)是2维连续型随机向量，具有联合密度函数p(r1,r2)，设G;=f;(S1,52),j=1,2.若(51,52)与(G1,S2)一一对应，逆映射;=h;(G1,S2),j=1,2.假定每个h;(y1,2)都有一阶连续偏导数.则(S1，S2)亦为连续型随机向量，且其联合概率密度为p(hi(y1, 2),hn(yi, y2)/Jl, (1, y2) eD,(2.7.2)q(91,92)=0,(y1, y2) & D,其中D是随机向量(S1,S2)的所有可能值的集合，J是变换的Jaccobi行列式，即ahiJ=3

d©Ù¡Cauchy©Ù"K·‚Œ±^„{¦)§=k¦Ñ©Ù¼ê§,￾ é©Ù¼ê¦ê" F(y) = P(Y ≤ y) = P(tg(X) ≤ y) = P(X ≤ arctg(y)) = ˆ arctg(y) − π 2 1 π dy = 1 π arctg(y) + 1 2 . ¤±Y VÇݏ f(y) = F 0 (y) = 1 π(1 + y 2) . ù«{äk„5" 5: gØ´3«mþüN ´ÅãüNž§ÝC†úªe¡/ª: ‘ÅCþξݼêpξ(x), a < x < b. XJŒ±r(a, b)© (k‡½Œ ‡)pØ­Uf«mÚ(a, b) = S j Ij , ¦¼êu = g(t), t ∈ (a, b)3z‡f«mþk ‡¼êhj (u), ¿…h 0 j (u)3ëY, Kη = g(ξ)´ëY.‘ÅCþ, Ùݼê: pη(x) = X j pξ(hj (x))|h 0 j (x)| . (2.7.1) ~ 2.7.5. X ∼ N(0, 1)§¦Y = X2VÇÝ" ): du¼êy = x 23(−∞, 0)Ú[0,∞)þî‚üN§Ïddþã½nY VÇݏ f(y) = φ(− √ y)| − √ y 0 |I{y>0} + φ( √ y)| √ y 0 |I{y>0} = 1 √ 2π y − 1 2 e − y 2 I{y>0} ½n 2.7.2. (ξ1, ξ2)´2‘ëY.‘Å•þ, äkéÜݼêp(x1, x2), ζj = fj (ξ1, ξ2), j = 1, 2. e(ξ1, ξ2)†(ζ1, ζ2)éA, _Nξj = hj (ζ1, ζ2), j = 1, 2.b½z‡hj (y1, y2)Ñk ëY ê. K(ζ1, ζ2)½ëY.‘Å•þ, …ÙéÜVÇݏ q(y1, y2) = ( p (h1(y1, y2), hn(y1, y2))|J|, (y1, y2) ∈ D, 0, (y1, y2) 6∈ D, (2.7.2) Ù¥D´‘Å•þ(ζ1, ζ2)¤kŒUŠ8Ü, J´C†Jaccobi1ª§= J =      ∂h1 ∂y1 ∂h1 ∂y2 ∂h2 ∂y1 ∂h2 ∂y2      3

在多元随机变量场合，更一般地有定理2.7.3.如果(S1,..,En)是n维连续型随机向量，具有联合密度函数p(T1,..,rn).假设存在n个n元函数yj= fi(ai,..,an),j=1,..,n,使得Sj= f;(S1,*+*,Sn),j= 1,-*,n若(Si,.·,Sn)与(S1,.·,Sn)之间一一对应，逆映射为S,=h,(S1,.,Sn),j=1,...,n.其中每个h,(y1,...,yn)都有一阶连续偏导数，那么随机向量(S1,..,Sn)是连续型的，且具有联合密度函数p(hi(y1,,yn),**,hn(y1,,yn))[Jl,(y1,***,yn)ED,(2.7.3)q(y1,..., yn) =0,(yi,.,yn) & D其中D是随机向量(S1，.，n)的所有可能值的集合，J是变换的Jaccobi行列式，即f.J=目:例2.7.6.在直角坐标平面上随机选取一点，分别以随机变量与n表示其横坐标和纵坐标，可以认为与n相互独立.如果与n都服从正态分布N(0.1)，试求其极坐标(o.)的分布.解：易知r=rcosty=rsint是(0,0)×[0,2元)与R2(原点除外)之间的变换，变换的Jaccobi行列式a0-rsintcostJ=Tsintrcost由于(s,n)的联合密度为1a2+yp(r,y) :=exp2元24

3õ‘ÅCþ|ܧ„/k ½n 2.7.3. XJ(ξ1, · · · , ξn)´n‘ëY.‘Å•þ, äkéÜݼêp(x1, · · · , xn). b 3n‡n¼ê yj = fj (x1, · · · , xn), j = 1, · · · , n, ¦ ζj = fj (ξ1, · · · , ξn), j = 1, · · · , n, e(ξ1, · · · , ξn)†(ζ1, · · · , ζn)ƒméA, _Nξj = hj (ζ1, · · · , ζn), j = 1, · · · , n. Ù¥ z‡hj (y1, · · · , yn)ÑkëY ê, @o‘Å•þ(ζ1, · · · , ζn)´ëY., …äké Üݼê q(y1, · · · , yn) = ( p (h1(y1, · · · , yn), · · · , hn(y1, · · · , yn))|J|, (y1, · · · , yn) ∈ D, 0, (y1, · · · , yn) 6∈ D, (2.7.3) Ù¥D´‘Å•þ(ζ1, · · · , ζn)¤kŒUŠ8Ü, J´C†Jaccobi1ª§= J =         ∂h1 ∂y1 · · · ∂h1 ∂yn . . . . . . . . . ∂hn ∂y1 · · · ∂hn ∂yn         ~ 2.7.6. 3†‹I²¡þ‘ÅÀ:, ©O±‘ÅCþξ†ηL«Ùî‹IÚp‹ I, Œ±@ξ†ηƒpÕá. XJξ†ηÑÑl©ÙN(0, 1), Á¦Ù4‹I(ρ, θ)© Ù. ): ´ ( x = r cost y = r sin t ´(0,∞) × [0, 2π)†R 2 (:Ø )ƒmC†, C†Jaccobi1ª J =      ∂x ∂r ∂x ∂t ∂y ∂r ∂y ∂t      =      cost −r sin t sin t r cost      = r. du(ξ, η)éÜݏ p(x, y) = 1 2π exp  − x 2 + y 2 2  , 4