南京大学计算机科学与技术系：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第4章 函数逼近的插值法与曲线拟和法 4.4 三次样条插值 4.5 曲线拟和的最小二乘法

X-x X-x 其中,= y X X =y1+(x-x1)(y-y=)(x1-x1) ■缺点:I(×)连续,但不光滑,精度较低,仅在 h=max{h=x,-x}足够小才能较好的逼近

( )( )/( ) 1 1 1 1 1 1 1 1                   j j j j j j j j j j j j j j j y x x y y x x y x x x x y x x x x 其中I n缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在 max{ 1}足够小才能较好的逼近。 1     j  j  j j n h h x x

分段三次 Hermite插值 ■上述分段线性插值曲线是折线,光滑性 差,如果交通工具用这样的外形,则势 必加大摩擦系数,增加阻力,因此用 hermite分段插值更好

分段三次Hermite插值 n 上述分段线性插值曲线是折线，光滑性 差，如果交通工具用这样的外形，则势 必加大摩擦系数，增加阻力，因此用 hermite分段插值更好

分段三次 Hermite插值 次 hermite!插值x∈[x1,x,时 H3(x)=a1(x)y1+a,(x)y+B1(x)f1+B(x)f 令A=B1()=(12一N少 u-x u-x, l-x a(u)=(1+2h )( u-xX B1=B1(n)=(u-x12),) u-x B2=B,(u)=(-x,)

分段三次Hermite插值 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (1 2 )( ) ( ) (1 2 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j h u x B u u x h u x B u u x h u x h u x A u h u x h u x A u H x x y x y x f x f Hermite x x x                                            令 三次 插值 时

分段三次 Hermite插值算法 则v=Ay1+Ay+B 算法: 1输入xf,f′(=0,…,n) 2计算插值 (1)输入插值点u (2)对于j=1,2,,n做 如果≤x则计算A,A2,B,B2 A _ +Af, +B,l + B 3输出u,v

分段三次Hermite插值算法 输出 。 如果 则计算 对于 做 输入插值点 计算插值 输入 （ ）； 算法： u v v A f A f B f B f u x A A B B j n u x f f j n j j j j j j j j 3. , ; , , , ; (2) 1,2,..., (1) ; 2. 1. , , 0,1,..., 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2             j j j j v  A y  A y  B f   B f  则 1 1 2 1 1 2

例题 例设f(1)=2,f(2)=3,f()=1,f(2)=-1, 求满足条件的 Hermite插值多项式。 解:x=1,x1=2,h=2-1=1则 A=(1+2(x-1)(x-2)2=(2x-1)x-2)2 A2=(1+2(x-2)x-1)2=(2x-3)(x-1) BR1=(x-1)x-2) B2=(x-2)(x-1)

例题 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 ( 2)( 1) ( 1)( 2) (1 2( 2))( 1) (2 3)( 1) (1 2( 1))( 2) (2 1)( 2) 1, 2, 2 1 1 (1) 2 (2) 3 (1) 1 (2) 1                                 B x x B x x A x x x x A x x x x x x h Hermite f f f f 解： 则 求满足条件的 插值多项式。 例 设 ， ， ，