记作[[ P(x, y,z)dxdz +Q(x, y,z)dzdx + R(x, y,z)dxdy (1)S或[[ P(x, y,z)dydz + J[ o(x, y,z)dzdx + [[ R(x, y,z)dxdyS1三、第二型曲面积分的计算定理22.2设R是定义在光滑曲面S : z = z(x,y)(x,y)e D)
( , , , , , , 1 ) ( ) ( ) ( ) S P x y z dxdz Q x y z dzdx R x y z dxdy + + 或 ( , , ) ( , , ) ( , , ) . + + S s S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy 三、第二型曲面积分的计算 定理22.2 设R是定义在光滑曲面 ( ) ( ) x y x y Dxy S : z = z , , , 记作
上的连续函数，以S的上侧为正侧（这时S的法线方向与z轴正向成锐角），则有[[ R(x, y,z)dxdy= [[ R(x, y,z(x, y))dxdy (2)sDxy证由第二型区面积分定义Z R(s), ni,E,)AS,J R(x, y,z)dxdy= lim。T->0 i=1SZR(g,n),z(e,n.)AS,= lim d→0il这里d = max S, 的直径)
以S S z 的上侧为正侧（这时 的法线方向与 轴 正向成锐角），则有 上的连续函数， ( , , ) ( , , ( , )) (2) = S Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy 证 由第二型区面积分定义 ( ) ( ) = → = n i i i i i T S xy R x y z dxdy R S 1 0 , , lim , , ( ( )) 0 1 lim , , , , xy n i i i i i d i R z S → = = 这里 max 的直径. xy d = Si
显然由|T= max[S,的直径}→0立刻可推得d →0由于R在S上连续，z在D上连续（曲面光滑！），据复合函数的连续性，R(x,y,z(x,J)也是D,上的连续函数.由二重积分的定义ZR(s,ni,z(s,n.))AS,[J R(x, y,z(x,y))dxdy = lim)d>oi=1Dxy所以[ R(x, y,z)dxdy= J R(x, y, z(x, y))dxdySDx
( , , , . ( )) xy xy R S z D R x y z x y D 由于 在 上连续， 在 上连续（曲面光滑！），据复合函数的 连续性， 也是 上的连续函数 由二重积分的定义 ( ( )) ( ( )) 0 1 , , , lim , , , . xy xy n i i i i i d D i R x y z x y dxdy R z S → = = 所以 ( , , ) ( , , ( , )) . = S Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy 显然由 T S d = → → max 0 0. i 的直径 立刻可推得
类似地，当P在光滑曲面S : x =x(y,z),(y,2) eDy上连续时，有(3)JJ P(x, y,z)dydz = P(x(y,z)dydz,SDy-这里S是以S的法线方向与x轴的正向成锐角的那一侧为正侧。当Q在光滑曲面S: y=y(z, x),(z,x) eD.上连续时，有
类似地，当P在光滑曲面 S x x y z y z D : , , , = ( ) ( ) yz 上连续时，有 ( , , , , 3 ) ( ( )) ( ) S Dyz P x y z dydz P x y z dydz = 这里S S x 是以 的法线方向与 轴的正向成锐角的那一侧为 正侧。 ( ), , ( ) zx z x D 当Q在光滑曲面 S:y=y z,x 上连续时，有
(4)J o(x,y,z) dzdx = J o(x,y(z,x) dzdx,sDax这里S是以S的法线方向与v轴的正向成锐角的那一侧为正侧。7例1计算J] xyzdxdy,SS其中S是球面x2+y2 +z2=1O在x≥0,y≥0部分并取球面V外侧（图1）。图1
( , , , , , 4 ) ( ( )) ( ) zx S D Q x y z dzdx Q x y z x dzdx = 这里S S y 是以 的法线方向与 轴的正向成锐角的 那 一 侧 为 正 侧。 例 1 , S xyzdxdy 计 算 2 2 2 1 0, 0 1 S x y z x y + + = 其 中 是 球 面 在 部 分 并 取 球 面 外 侧 （ 图 ） 。 x y zo 1 S2 S 图 1