13.5q qax-22.5g2 令M=0,解得 X= F=9 F作用在跨A端2.5a处。 q(5)d 2.线性分布线接角载荷的简 (线分布载荷) lds 如图4-13所示。在a平面内的直 线段AB上分布着沿直线分布的线分 布载荷 q()=q1+(q2-q1)2/L 图4-13 将AB直线段上的线分布载荷q向距A端为x的点简化。先将距A端为和5+d的 微段上的线分布载荷近似地视为大小为q(5)的均布载荷。并把这一微段上的近似均 载荷看作是作用在ξ点的点接触力(集中力)q()d5。将q()d5向x点简化。利 用力线平移定理可得作用在x点的集中力和附加力偶的力偶矩为 I dFdF=g(s)=ds dM|dM=(x-5)q(d2↓ 当ξ取遍AB直线段上每一点后,所得集中力和附加力偶的力偶矩为: FF=[+(92-9)/4k=1+9)L: 16
16 6qax 9qa 13.5qa 3qax 2 2 = − − + 2 = 9qax − 22.5qa 令 M = 0，解得 x = 2.5a F = 9qa ；↓ F 作用在跨 A 端 2.5a 处。 2． 线性分布线接角载荷的简 （线分布载荷） 如图 4-13 所示。在α 平面内的直 线段 AB 上分布着沿直线分布的线分 布载荷 q(ξ ) = q1 + (q2 − q1 )ξ / L 图 4-13 将 AB 直线段上的线分布载荷 q 向距 A 端为 x 的点简化。先将距 A 端为ξ 和ξ + dξ 的 微段上的线分布载荷近似地视为大小为q(ξ )的均布载荷。并把这一微段上的近似均 载荷看作是作用在ξ 点的点接触力（集中力）q(ξ )dξ 。将q(ξ )dξ 向 x 点简化。利 用力线平移定理可得作用在 x 点的集中力和附加力偶的力偶矩为： | dF |= dF = q(ξ ) = dξ ；↓ | dM |= dM = (x − ξ )q(ξ )dξ ↓ 当ξ 取遍 AB 直线段上每一点后，所得集中力和附加力偶的力偶矩为： [ ] ∫ = = + − = + L F q q q L d q q L 0 1 2 1 1 2 ( ) 2 1 | F | ( )ξ / ξ ；↓
AM=M=(x-5+(2-9)51=2x(9+4)-6l2(2+9); 若要F是合力矢(量),则要求所选择的x点所对应的简化所得M=0。由该条件解 得 2g2+q1-L +q2) 由此得结论:对平面的直线段AB(AB长为L)上分布线性分布载荷 q(5)=9+(2-41)/L时,简化中心取在AB直线段距q端为2+qL处时, 3(q1+q2) 线性分布载荷q(5)=q1+(q2-q1)/L的主矢(量)F就是与该线性分布载荷力学 效应(刚体)等效的合力矢(量)。或称为合力。其大小为(q1+q2)L 例45:求图4-14所求梁上作用的线性分载荷的合力矢(量)F及合力矢(量)的 作用位置。 解 由线性分布载荷的特点可知 (q1=0;q2=q) 3 即当合力矢(量)作用在距q=0端=L处 (L为线性分布载荷的分布段长度)。 图4-14 在图示梁的坐标系中 x=a+=(3a)=3 F=(q+g21=9(3a)=2qa
17 [ ] ∫ = = − + − = + − + L M x q q q L d x q q L q q 0 2 1 2 1 2 1 1 2 (2 ) 6 1 ( ) 2 1 | M | ( ξ ) ( )ξ / ξ ；↓ 若要 F 是合力矢（量），则要求所选择的 x 点所对应的简化所得 M = 0。由该条件解 得： L q q q q x 3( ) 2 1 2 2 1 + + = 。 由此得结论：对平面的直线段 AB （ AB 长 为 L ）上分布线性分布载荷 q(ξ ) = q1 + (q2 − q1 )ξ / L 时，简化中心取在AB直线段距q1端为 L q q q q 3( ) 2 1 2 2 1 + + 处时， 线性分布载荷q(ξ ) = q1 + (q2 − q1 )ξ / L 的主矢（量）F 就是与该线性分布载荷力学 效应（刚体）等效的合力矢（量）。或称为合力。其大小为 (q q )L 2 1 1 + 2 。 例 4-5：求图 4-14 所求梁上作用的线性分载荷的合力矢（量）F 及合力矢（量）的 作用位置。 解： 由线性分布载荷的特点可知： ( 0; ) 1 2 q = q = q x L 3 2 = 即当合力矢（量）作用在距 q1=0 端 L 3 2 处 （L 为线性分布载荷的分布段长度）。 图 4-14 在图示梁的坐标系中 x a x a (3a) 3a 3 2 = + = + = F q q L q a qa 2 3 (3 ) 2 1 ( ) 2 1 = 1 + 2 = = ；↓
本例题的计算结果表明:线性分布载荷q()=q1+q25/L=q5/L(习惯上也 称为三角形分布载荷),其合力矢(量)的大小为qL(三角形分布载荷的面积) 其作用点距q1=0端L上,距q2=q端L处。 §4-5平面任意力系的平衡条件 对作用在刚体上的一般平面力系F1…Fn;M12…,Mn,由§43节中的 (4-4)、(4-5),F1…,Fn;M1;…,Mm向任意简化中心o简化时的主矢(量)和 主矩(矢量)为 =F1+…+F r1×F1 F 而在§44节中平面任意力系的简化结果分析表明,当 F=0;M=0 时,刚体处于无平动运动和无相对简化中心的转动运动。并且称刚体的这种运动状 态为刚体的平衡状态。因此当刚体上作用一般平面任意力系F1,…,F;M1…Mm 时,其平衡的充分必要条件为: F=0 (4-10) M=0 即:刚体上作用一般平面任意力系时,刚体处于平衡状态的充分必要条件为所有作 用力的主矢(量)为零矢量:所有作用力对简化中心的力矩与作用在刚体上的力偶 的力偶矩的主矩(矢量)为零矢量 该平衡条件还可表述为(定理) 18
18 本例题的计算结果表明：线性分布载荷q(ξ ) = q1 + q2ξ / L = qξ / L（习惯上也 称为三角形分布载荷），其合力矢（量）的大小为 qL 2 1 （三角形分布载荷的面积）； 其作用点距 q1=0 端 L 3 2 上，距q = q 2 端 L 3 1 处。 §4-5 平面任意力系的平衡条件 对作用在刚体上的一般平面力系 F Fn , , 1 " ； M Mm , , 1 " ，由§4-3 节中的 （4-4）、（4-5），F Fn , , 1 " ； M Mm , , 1 " 向任意简化中心 o 简化时的主矢（量）和 主矩（矢量）为 F = F1 +"+ Fn n Fn M Mm M = r1 × F1 +"+ r × + 1 +"+ 而在§4-4 节中平面任意力系的简化结果分析表明，当 F = 0 ； M = 0 时，刚体处于无平动运动和无相对简化中心的转动运动。并且称刚体的这种运动状 态为刚体的平衡状态。因此当刚体上作用一般平面任意力系 F Fn , , 1 " ；M Mm , , 1 " 时，其平衡的充分必要条件为： ⎭ ⎬ ⎫ = = 0 0 M F （4-10） 即：刚体上作用一般平面任意力系时，刚体处于平衡状态的充分必要条件为所有作 用力的主矢（量）为零矢量；所有作用力对简化中心的力矩与作用在刚体上的力偶 的力偶矩的主矩（矢量）为零矢量。 该平衡条件还可表述为（定理）
刚体上作用一般平面任意力系时,刚体处于平衡态的充分必要条件为:作用在 刚体上所有力的主矢(量)为零矢量;作用在刚体上所有力对(刚体作用力所在) 平面上任意一点的力矩与作用在刚 体上所有力偶的力偶矩的主矩(矢 量)为零矢量。 证明: 如图415所示。刚体上作用 般平面任意力系F1,…,Fn M1,…,Mn。将作用在刚体上 F1,…,Fn;M1…,Mn向刚体上 的o点简化得作用在o点的主矢 (量)和主矩(矢量)为 F=F+…+F M。=r1×F1+…+rn×Fn+M1+…+Mn (式中r1…,F为F1,…,F作用线上一点与简化中心O点所作的位置矢量。其位置 矢量的起点都在简化中心O点)。 此时刚体上作用的F1…,Fn;M12…,Mm对刚体的力学效应与刚体简化中心O点 处作用F、M0对刚体的力学效应等效。在将作用在简化中心o点处的F、M0向刚体 上的任意A点简化,可得作用在A点处与刚体上作用F1,…,F;M1,…,Mn力学 效应等效的主矢(量)和主矩(矢量)为 F=F1+…+F
19 刚体上作用一般平面任意力系时，刚体处于平衡态的充分必要条件为：作用在 刚体上所有力的主矢（量）为零矢量；作用在刚体上所有力对（刚体作用力所在） 平面上任意一点的力矩与作用在刚 体上所有力偶的力偶矩的主矩（矢 量）为零矢量。 证明： 如图 4-15 所示。刚体上作用一 般平面任意力系 F Fn , , 1 " ； M Mm , , 1 " 。将作用在刚体上 F Fn , , 1 " ； M Mn , , 1 " 向刚体上 的 o 点简化得作用在 o 点的主矢 （量）和主矩（矢量）为 图 4-15 F = F1 +"+ Fn n Fn M Mn M0 = r1 × F1 +"+ r × + 1 +"+ （式中 n r , ,r 1 " 为 F Fn , , 1 " 作用线上一点与简化中心 o 点所作的位置矢量。其位置 矢量的起点都在简化中心 o 点）。 此时刚体上作用的 F Fn , , 1 " ；M Mm , , 1 " 对刚体的力学效应与刚体简化中心 o 点 处作用 F、M0 对刚体的力学效应等效。在将作用在简化中心 o 点处的 F、M0 向刚体 上的任意 A 点简化，可得作用在 A 点处与刚体上作用 F Fn , , 1 " ；M Mn , , 1 " 力学 效应等效的主矢（量）和主矩（矢量）为 F = F1 +"+ Fn