AB边(面)上每一点L=0:y=0 或者uA=0;uA=0;b=0 其对应的约束仅力为 Rax(限制u=0);R(限制v=0);M1(限制b=0) §4-4平面任意力系的简化结果,合力矩定理 平面任意力系的简化结果 由(4-4)、(45)式所表示的平面一般任意力系向一点简化的主矢和主矩代表了 平面一般任意力系的一种力学等效。即作用在刚体上的一般平面任意力系对刚体的 力学效应与作用在简化中心处的主矢F和主矩M对刚体的力学效应等效。因此对作 用在刚体上的一般平面任意力系力学效应的分析也可等效地用作用在刚体简化中心 处的主矢F,主矩M的力学效应的分析代替。对主矢F和主矩M的分析有如下四 种情况 1.F=0;M=0 在这种情况下,由刚体力学效应的等效,刚体上作用一般平面任意力系已用作 用在刚体简化中心处的主矢F和主矩M等效表示。由于主矢F和主矩M都是作用 在刚体简化中心这一点上,因此F=0刚体简化中心处于相对惯性参考系(地球) 匀速直线运动或静止;M=0表明刚体上的每一点我相对简化中心无转动力学效应。 即F=0,M=0表明刚体在一般平面任意力系作用下,刚体上的每一点相对惯性参 考系(地球)匀速直线运动或静。且称刚体的这种运动状态为平衡状态。或称为平 2.F≠0;M=0 在这种情况下,由于F≠0。所以刚体简化中心相对于惯性参考系(地球)处
11 AB 边（面）上每一点 u=0；v=0 或者 uA=0；uA=0；θ = 0 其对应的约束仅力为 RAx（限制 uA=0）；RAy（限制 v4=0）；MA（限制θ = 0 ） §4-4 平面任意力系的简化结果，合力矩定理 一、平面任意力系的简化结果 由（4-4）、（4-5）式所表示的平面一般任意力系向一点简化的主矢和主矩代表了 平面一般任意力系的一种力学等效。即作用在刚体上的一般平面任意力系对刚体的 力学效应与作用在简化中心处的主矢 F 和主矩 M 对刚体的力学效应等效。因此对作 用在刚体上的一般平面任意力系力学效应的分析也可等效地用作用在刚体简化中心 处的主矢 F，主矩 M 的力学效应的分析代替。对主矢 F 和主矩 M 的分析有如下四 种情况。 1．F = 0；M = 0 在这种情况下，由刚体力学效应的等效，刚体上作用一般平面任意力系已用作 用在刚体简化中心处的主矢 F 和主矩 M 等效表示。由于主矢 F 和主矩 M 都是作用 在刚体简化中心这一点上，因此 F = 0 刚体简化中心处于相对惯性参考系（地球） 匀速直线运动或静止；M = 0 表明刚体上的每一点我相对简化中心无转动力学效应。 即 F = 0，M = 0 表明刚体在一般平面任意力系作用下，刚体上的每一点相对惯性参 考系（地球）匀速直线运动或静。且称刚体的这种运动状态为平衡状态。或称为平 衡。 2． F ≠ 0；M=0 在这种情况下，由于 F ≠ 0 。所以刚体简化中心相对于惯性参考系（地球）处
于非平衡的运动状态。尽管F≠0,但M=0却表明刚体无转动力学效应。即刚体 每一点具有与简化中心点完全相同的非平衡运动状态。且称刚体的这种运动状态为 刚体的平动运动状态。或称为平动。 3.F=0;M≠0 在这种情况下,由于F=0。所以刚体简化中心相对于惯性参考系(地球)处 于平衡运动状态。尽管F=0,但M≠0却表明刚体处于相对惯性参考系(地球) 的有转动的运动状态。且称刚体的这种运动状态为刚体的转动运动状态。或称为转 动 4.F≠0;M≠0 在这种情况下,刚上的角一点都处于非平衡运动状态 、合力矩定理(主矢矩定理) 定理:平面任意力系向简化中心 简化所得主矢(量)对平面上任意 点的矩等于平面任意力系中的每一个 力对平面上同一点矩的矢量和 MA(F)=rA×F1+…+rn4×Fn (4-8) 证明 将F1,…Fn向平面内一特定点简 化。若所得简化结果中M=0,则作用 在这特定简化中心的主矢(量)称为 合力矢(量)《注:合力矢(量)不是力矢量》,习惯上合力矢(量)也称为合力。 图4-11
12 于非平衡的运动状态。尽管 F ≠ 0，但 M = 0 却表明刚体无转动力学效应。即刚体 每一点具有与简化中心点完全相同的非平衡运动状态。且称刚体的这种运动状态为 刚体的平动运动状态。或称为平动。 3． F = 0 ； M≠0 在这种情况下，由于 F = 0 。所以刚体简化中心相对于惯性参考系（地球）处 于平衡运动状态。尽管 F = 0 ，但 M≠0 却表明刚体处于相对惯性参考系（地球） 的有转动的运动状态。且称刚体的这种运动状态为刚体的转动运动状态。或称为转 动。 4． F ≠ 0；M≠0 在这种情况下，刚上的角一点都处于非平衡运动状态 二、合力矩定理（主矢矩定理） 定理：平面任意力系向简化中心 简化所得主矢（量）对平面上任意一 点的矩等于平面任意力系中的每一个 力对平面上同一点矩的矢量和 A A nA Fn M (F) = r1 × F1 +"+ r × （4-8） 证明： 将 F1，…Fn 向平面内一特定点简 化。若所得简化结果中 M=0，则作用 在这特定简化中心的主矢（量）称为 合力矢（量）《注：合力矢（量）不是力矢量》，习惯上合力矢（量）也称为合力。 图 4-11 Fn F2 r2 r3 A h r1 F1 r1 r2 r3 F
如图4-1.10中0点为合力所在的简化中心。由合力的定义可知F1,…,Fn向o 简化中心简化时所得的主矢(量)和主矩(矢量)分别为 =F1+…+F M。=FXF1+…+Fn×Fn=0 由图可得 A(F)=h×F =h×(F1+…+Fn) =hxF1+…+h×Fh (r1-F)×F1+…+(r-Fn)×F =r-F1+…+r×Fhb-(×F1+…F×Fn) r1×F1 式中FxF1,…Fn×F正是各个力对A点的力矩矢量。即合力矢(量)对平面上 任意点A的矩等于每一个力对平面上任意同一点A的矩的矢量和 对于汇交力系,合力矩定理又可表述为: 在汇交点处的主矢(量)F对平面上任意点A的矩等于有一个作用在刚体上的 力对A点的矩的矢量和。即(4-8)式。 对于共点力系,合力矩定理可表述为 在力的作用点处的合力《真正意义上的合力》F对平面上任意点A的矩等于每 一个作用在物体(可以是刚体,也可以是变形体)上的力对A点的矩的矢量和。即 (4-8)式。 在惯性参考系上建立坐标系{0;ik},且所有力都在,j所确定的平面内。则
13 如图 4-1.10 中 o 点为合力所在的简化中心。由合力的定义可知 F1，…，Fn 向 o 简化中心简化时所得的主矢（量）和主矩（矢量）分别为 F = F1 +"+ Fn M0 = r1 × F1 +"+ rn × Fn = 0 由图可得 M A (F) = h× F ( ) = h× F1 +"+ Fn = h× F1 +"+ h× Fh h n Fn = (r1 − r1 )× F1 +"+ (r − r )× ( ) 1 1 n h 1 1 h Fn = r − F +"+ r × F − r × F +"r × h Fn = r1 × F1 +"+ r × 式中 1 F1 r × ，… n Fn r × 正是各个力对 A 点的力矩矢量。即合力矢（量）对平面上 任意点 A 的矩等于每一个力对平面上任意同一点 A 的矩的矢量和。 对于汇交力系，合力矩定理又可表述为： 在汇交点处的主矢（量）F 对平面上任意点 A 的矩等于有一个作用在刚体上的 力对 A 点的矩的矢量和。即（4-8）式。 对于共点力系，合力矩定理可表述为： 在力的作用点处的合力《真正意义上的合力》F 对平面上任意点 A 的矩等于每 一个作用在物体（可以是刚体，也可以是变形体）上的力对 A 点的矩的矢量和。即 （4-8）式。 在惯性参考系上建立坐标系{0; i, j, k}，且所有力都在 i，j 所确定的平面内。则
(4-8)式也可写为 M(F)=M,(F+.+M(F) (4-9) 三、两种常见线分布载荷的简化 在工程上,以主动力的形式常见的作用称为载荷。载荷除点接能的集中力载荷 外,以体分布及线面接触形式出现的载荷常称分布载荷。如重力(体分布载荷)、水 压力(面分布载荷、工程上也常简化为线分布载荷),土压力、风压力、液压力等。 体力分布载荷的单位为N/m3;面分布载荷的单位为Nm2;线分布荷载的单位 为N/m。每m3、m2,m上所承受的力称载荷集度。 1.均(匀分)布线接触载荷的简化(均布载荷) 如图所示。在α平面内的直线段AB上分布有沿直线分布的均布载荷 q(5)=q 将AB直线段上分布 的均布荷载q间距A端为 x的点,简化。先将距A 端为5和5+d的微段 上的均布载荷看作是作用 在ξ点的点接能力(集中力)qd。将qd向x点简化。利用力线平移定理得作用 在x点的集中力和附加力偶的力偶矩为: I dF E=dF= gds 4 dM|=dM=(x-5)gd5;↓ 当ξ取遍AB直线段上角点后,所得集中力和附加力偶的力偶矩为
14 （4-8）式也可写为 ( ) ( ) ( ) M A F = M1A F1 +"+ M nA Fn （4-9） 三、两种常见线分布载荷的简化 在工程上，以主动力的形式常见的作用称为载荷。载荷除点接能的集中力载荷 外，以体分布及线面接触形式出现的载荷常称分布载荷。如重力（体分布载荷）、水 压力（面分布载荷、工程上也常简化为线分布载荷），土压力、风压力、液压力等。 体力分布载荷的单位为 N/m3 ；面分布载荷的单位为 N/m2 ；线分布荷载的单位 为 N/m。每 m 3 、m 2 ，m 上所承受的力称载荷集度。 1． 均（匀分）布线接触载荷的简化（均布载荷） 如图所示。在α 平面内的直线段 AB 上分布有沿直线分布的均布载荷 q(ξ ) = q 将 AB 直线段上分布 的均布荷载 q 间距 A 端为 x 的点，简化。先将距 A 端为 ξ 和 ξ + dξ 的微段 上的均布载荷看作是作用 在ξ 点的点接能力（集中力）qdξ 。将qdξ 向 x 点简化。利用力线平移定理得作用 在 x 点的集中力和附加力偶的力偶矩为： | dF |= dF = qdξ ；↓ | dM |= dM = (x −ξ )qdξ ；↓ 当ξ 取遍 AB 直线段上角点后，所得集中力和附加力偶的力偶矩为： α qdξ q ξ dξ B x L A
I F=Lds=qL: t MM(-5(: 若要使得F是合力矢(量),则要求所选择的x点所对应的简化所得M=0。即 L|=0 由该条件可解得x=-L。 由此得结论:对在平面的直线段AB(AB长为L)上分布均布载荷q时,简化 中心取在AB直线段的中点(图中x=-)处时,均布载荷的主矢(量)F就是与该 均布载荷力学效应(刚体)等效的合力矢(量)。或称为合力。其大小为F=qL。 例4-4:求图示梁上的两段均布载荷的合力矢(量)F及合力矢量的作用位置。 由均布载荷合力矢(量)的特点可知: Li AB段:FAB=6q; FAB作用在距A端1.5a处。 6qa sqa BC段:FBC=3qa FAB作用在距A端4.5a处 将FAB、FBC向x(1.5a≤x4.5a)处简化得主矩为 IM=M=FR(x-1.5a)-FR(4.5a-x
15 ∫ = = = L F qd qL 0 | F | ξ ；↓ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − = − L M x qd x L L 0 2 1 | M | ( ξ ) ξ ；↓ 若要使得 F 是合力矢（量），则要求所选择的 x 点所对应的简化所得 M = 0。即 0 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ M = x − L 由该条件可解得 x L 2 1 = 。 由此得结论：对在平面的直线段 AB（AB 长为 L）上分布均布载荷 q 时，简化 中心取在 AB 直线段的中点（图中 2 1 x = ）处时，均布载荷的主矢（量）F 就是与该 均布载荷力学效应（刚体）等效的合力矢（量）。或称为合力。其大小为 F=qL。 例 4-4：求图示梁上的两段均布载荷的合力矢（量）F 及合力矢量的作用位置。 解： 由均布载荷合力矢（量）的特点可知： AB 段： F qa AB = 6 ；↓ FAB 作用在距 A 端 1.5a 处。 BC 段： FBC = 3qa ；↓ FAB 作用在距 A 端 4.5a 处 将 FAB 、 FBC 向 x（1.5a<x<4.5a）处简化得主矩为 | | M F (x 1.5a) F (4.5a x) M = = AB − − B − 6qa 3qa B C q