第2节有关单位过程的极限分布 对单位根过程的分析,建立在维纳过程(布朗运动)和泛 函中心极限定理之上 维纳过程 维纳过程 Wiener process称为布朗运动过程( Brownian Motion Process) 设W(t)是定义在闭区间[0,1]上一连续变化的随机过程,若 (a)W(0)=0 (b)对闭区间[0,1]上任意一组分割0≤1<t2<…<t=1,W()的 变化量: W(t2)-W(1),W(t)-W(2) W(t-w( 为相互独立的随机变量 (c)对任意0≤s<t≤1,有 W(t)-W(s)~N(0,t-S) (6.2.1) 则称W()为标准维纳过程(或标准布朗运动过程)
第2节 有关单位过程的极限分布 对单位根过程的分析，建立在维纳过程（布朗运动）和泛 函中心极限定理之上 一、维纳过程 维纳过程(Wiener Process)也称为布朗运动过程（Brownian Motion Process) 设 W (t) 是定义在闭区间 [ 0，1 ]上一连续变化的随机过程，若： (a) W(0)=0； (b) 对闭区间[ 0，1 ]上任意一组分割 0 1 t 1 t 2 t k = ，W (t) 的 变化量： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 1 , , , − − k − k − W t W t W t W t W t W t 为相互独立的随机变量； (c) 对任意 0 s t 1， 有 W (t) −W (s) ~ N(0,t − s) (6.2.1) 则 称 W (t) 为标准维纳过 程（或标准布朗运动过程）
由定义我们可以得出: 标准维纳过程在任意时刻t服从正态分布 W(t)=W(t)-W(0)~N(0,t) (6.2.2) W(1)~N(0 ·将标准维纳过程推广,可得一般维纳过程的概念 令B(t)=oW(t),称B(1)是方差为a2的维纳过程。 对任意0≤s<t≤1,有 B(t)-B(s)~N(0,02(t-s) 根据上式,显然有 B(t)=B(t)-B(0)~N(0,a2t) (6.2.3) B(1)~N(0,a
由定义我们可以得出： • 标准维纳过程在任意时刻t服从正态分布 W (t) = W (t) −W (0) ~ N(0,t) (6.2.2) W (1) ~ N(0,1) • 将标准维纳过程推广，可得一般维纳过程的概念 令 B(t) = W (t) ， 称 B(t) 是方差为 2 的维纳过程。 对任意 0 s t 1， 有 ( ) ( ) ~ (0, ( )) 2 B t − B s N t − s 根据上式，显然有 ( ) ( ) (0) ~ (0, ) 2 B t = B t − B N t (6.2.3) (1) ~ (0, ) 2 B N
、有关随机游动的极限分布 1、一般中心极限定理 如暑随机变量序列{5}:5,52,…5n,独立同 分布,且有 E(21)=4,D(1)=a2<∞,t=1,2,… 则 (5N-) (51- N(0,a2)
二、有关随机游动的极限分布 1、一般中心极限定理 如果随机变量序列 ： 独立同 分布，且有 令 ，则 { } t 1 , 2 , , n , E( t ) = , D( t ) = 2 , t =1,2, = N N t N 1 1 ( ) (0, ) 1 ( ) 2 1 N N N N L N − = t − ⎯→ (6.2.4)
对于白噪声序列{s},由于 E(E,)==0,D(E1)=02<0 根据中心极限定理,有 (,-)=、24N (6.2.5)
对于白噪声序列 t ，由于 E( t ) = = 0, D( t ) = 2 , t = 1,2, 根据中心极限定理，有 (0, ) 1 ( ) 2 1 N N N N L N − = t ⎯→ (6.2.5)
2、泛函中心极限定理 设r为闭区间[0,1]上的任一实数,记N=[M为不超 过rN的最大整数,对于给定白噪声序列}的前N项: E、,取其前N=[N项构造统计量 X(r)=1∑ N (6.2.6) 显然,当r在闭区间[0,1]上变化时,X(r)是[0, 1]上的一个阶梯函数,其具体表达式为: 0≤r< E/N ≤r< r(r) E2)/ ≤r< 7) (a+2+…8)/N
2、泛函中心极限定理 设 r 为闭区间[ 0，1 ]上的任一实数，记 N [rN] r = 为不超 过 r N 的最大整数，对于给定白噪声序列 t 的 前 N 项 ： N , , , 1 2 ，取其前 N [rN] r = 项构造统计量： = Nr t N X r 1 1 ( ) (6.2.6) 显然，当 r 在闭区间[ 0，1 ]上变化时，X (r)是[ 0， 1 ]上的一个阶梯函数，其具体表达式为： ( ) = + + = + 1 0 ( )/ ( )/ / 0 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 r r r r N N N X r N N N N N N (6.2.7)