第一章平稳时间序列模型及其特征 第一节模型类型及其表示 自回归模型(AR) 由于经济系统惯性的作用,经济时间序列往往存在着前后依存关 系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时 期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回 归模型 X:=中X1 常记作AR(1)。其中{X}为零均值(即已中心化处理)平稳序列, φ为X对X-1的依赖程度,ε:为随机扰动项序列(外部冲击)。 如果X与过去时期直到X-的取值相关,则需要使用包含X- 1,…X-在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的 般形式为 X:=中1X1-1+φ2X1 pat→p"t (2.1.2) 为了简便运算和行文方便,我们引入滞后算子来简记模型。设B 为滞后算子,即BX=X1-,则B(B2x)=BX=X+B(C)=C(C为常数) 利用这些记号,(2.1.2)式可化为 φBX+φ2B2X2+φ3BX φBX 从而有: (1-φ1B-φ2B2 记算子多项式φ(B)=(1-φB中2B2-……-中B2),则模型可以表 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
第一章 平稳时间序列模型及其特征 第一节 模型类型及其表示 一、自回归模型（AR） 由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关 系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时 期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回 归模型： Xt=φXt-1+εt （2.1.1） 常记作 AR(1)。其中｛Xt｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列， φ为 Xt对 Xt－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。 如果 Xt 与过去时期直到 Xt-p 的取值相关，则需要使用包含 Xt－ 1 ，……Xt-p在内的 p 阶自回归模型来加以刻画。P 阶自回归模型的一 般形式为： Xt=φ1 Xt－1+φ2 Xt－2+…+φp Xt－p+εt （2.1.2） 为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设 B 为滞后算子，即 BXt=Xt-1, 则 B(Bk-1Xt)=Bk Xt=Xt-k B(C)=C(C 为常数)。 利用这些记号，（2.1.2）式可化为： Xt=φ1BXt+φ2B 2 Xt+φ3B 3 Xt+……+φpB p Xt+εt 从而有： （1-φ1B-φ2B 2 -……-φpB p）Xt=εt 记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B 2 -……-φpB P）,则模型可以表 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
示成 φ(B)X1 (2.1.3) 例如,二阶自回归模型X=0.7X-1+0.3X-2+0.3X13+e:可写成 (1-0.7B-0.3B2)X=Et 二、滑动平均模型(MA) 有时,序列X的记忆是关于过去外部冲击值的记忆,在这种情况 下,X可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合,即 e:--62E (2.1.4) 此模型常称为序列X的滑动平均模型,记为MA(q),其中q为滑动 平均的阶数,θ1,02…。为滑动平均的权数。相应的序列X称为滑 动平均序列。 使用滞后算子记号,(2.1.4)可写成 X=(1-0B-02B2…-0B)q=0(B)e (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型 如果序列{X}的当前值不仅与自身的过去值有关,而且还与其 以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系,则在用模型刻画这种动 态特征时,模型中既包括自身的滞后项,也包括过去的外部冲击,这 种模型叫做自回归滑动平均模型,其一般结构为: X=中1X-1+中2X-2+……+中xX+e:-0:e:-02E:=2 简记为ARMA(p,q)。利用滞后算子,此模型可写为 φ(B)X1=0(B)et (2.1.7) Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
示成 φ（B）Xt=εt (2.1.3) 例 如 ， 二 阶 自 回 归 模 型 Xt=0.7Xt-1+0.3Xt-2+0.3Xt-3+ ε t 可 写 成 （1-0.7B-0.3B2）Xt=εt 二、滑动平均模型（MA） 有时，序列 Xt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况 下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即 Xt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列 Xt的滑动平均模型，记为 MA(q)， 其中 q 为滑动 平均的阶数，θ1，θ2…θq为滑动平均的权数。相应的序列 Xt称为滑 动平均序列。 使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成 Xt=（1-θ1B-θ2B 2 -……- θqB q）qt=θ(B)εt (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型 如果序列｛Xt｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其 以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动 态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这 种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为： Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+……+φpXt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.6) 简记为 ARMA(p, q)。利用滞后算子，此模型可写为 φ（B）Xt=θ(B)εt （2.1.7） PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
第二节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性 首先介绍两个概念。 ①序列的传递形式:设{Y}为随机序列,{ε:}为白噪声,若{Y1} 可表示为: Y:=e:+G1et1+G22+…+Get-k+……=G(B)e 且∑G<∞,则称{Y}具有传递形式,此时(Y)是平稳的。系 数{G}称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性 强度。 ②序列的逆转形式:若{Y}可表示为: e:=Y2-1Y-1-丌2Y1-2-……-ⅡkY1- π(B)Y 且∑π<∞,则称{Y,}具有逆转形式(或可逆形式)。 MA模型 1.MA模型本身就是传递形式 2.MA(q)总是平稳的(由上一章的例),MA(∞)在系数级数绝对 收敛的条件下平稳。 3.MA(q)模型的可逆性条件 先以MA(1)(Y:=ε:-01ε-)为例进行分析 MA(1)的可逆性条件为:<1。如果引入滞后算子表示MA(1), Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
第二节 线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性 首先介绍两个概念。 ① 序列的传递形式：设｛Yt｝为随机序列，｛εt｝为白噪声，若｛Yt｝ 可表示为： Yt=εt+G1εt-1+G2εt-2+……+Gkεt-k+……=G(B) εt 且å < ¥ ¥ 1 Gk ，则称｛Yt｝具有传递形式，此时｛Yt｝是平稳的。系 数｛Gk｝称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性 强度。 ② 序列的逆转形式：若｛Yt｝可表示为： εt= Yt-π1 Yt-1-π2 Yt-2-……-πk Yt-k-……=π(B) Yt 且å < ¥ ¥ 1 p k ，则称｛Yt｝具有逆转形式（或可逆形式）。 一、 MA 模型 1. MA 模型本身就是传递形式。 2. MA(q)总是平稳的（由上一章的例），MA（∞）在系数级数绝对 收敛的条件下平稳。 3. MA(q)模型的可逆性条件。 先以 MA（1）(Yt=εt-θ1εt-1)为例进行分析。 MA(1)的可逆性条件为：q1 < 1。如果引入滞后算子表示 MA(1)， PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
则Y=(1-0B)E…,可逆条件1<1等价于0(B)=1-0B=0的根全在 单位圆外 对于一般的MA(q)模型,利用滞后算子表示有: Y=(1-0B-02B3 0B)e:=0(B)e 其可逆的充要条件是:0(B)=0的根全在单位圆外(证明见 Box- Jenkins,P79)。 在可逆的情况下,服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR 模型: (B)Y=E MA(q)的可逆域:使θ(B)=0的根全在单位圆之外的系数向量(0 ,θ2,……,θa)所形成的集合。 例:求MA(2)的可逆域。 解:由=E,-0161-02E12,其特征方程为 6(B)=1-6B-02B2=0 该方程的两个根为: -1+√02+402 由二次方程根与系数的关系,有 + 当MA(2)平稳时,根的模入2都必须大于1,因此必有: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
则 Yt=（1-θ1B）εt，可逆条件 q1 < 1等价于θ(B)=1-θ1B=0 的根全在 单位圆外。 对于一般的 MA(q)模型，利用滞后算子表示有： Yt=（1-θ1B-θ2B 2 -……- θqB q）εt = θ(B)εt 其可逆的充要条件是：θ(B) =0 的根全在单位圆外（证明见 Box-Jenkins，P79）。 在可逆的情况下，服从 MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的 AR 模型： θ -1(B)Yt=εt MA(q)的可逆域：使θ(B) =0 的根全在单位圆之外的系数向量（θ 1，θ2，……，θq）所形成的集合。 例：求 MA(2)的可逆域。 解：由Yt = t - 1 t-1 - 2 t-2 e q e q e ，其特征方程为： ( ) 1 0 2 q B = -q1B -q2B = 该方程的两个根为： 2 2 2 1 1 1 2 4 q q q q l - - + = 2 2 2 1 1 2 2 4 q q q q l - + + = 由二次方程根与系数的关系，有 2 1 1 2 2 1 2 , 1 q q l l q l l = - + = - 当 MA（2）平稳时，根的模 l1 与l2 都必须大于 1，因此必有： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
02 2 由根与系数的关系,可以推出如下式子: e2+O1=1-(1-)(1 02-=1-(+) 由于、02是实数,A与入2必同为实数或共轭复数。又因为A|>1, 因此 故 02±01=1-(1)(1)< 反之,如果<1,且O2+B<1。那么从92=区A <1可以推出至 少有一个|>1,例如,假设A>1,则根据1-(1平,1)<1可推出 x1011)>0,由11>0可以推出1F1>0,从而k>1。因此, θ(B)=1-1B-02B2=0的根在单位圆之外。(平稳域为一三角形)。 、AR模型 1.AR(P)模型本身就是一种逆转形式。 2.平稳性 先以AR(1)(Y1=q1Y-1+e),进行分析。 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
1 1 1 2 2 = < l l q 由根与系数的关系，可以推出如下式子： ) 1 )(1 1 1 (1 1 2 2 1 l l q +q = - - - ) 1 )(1 1 1 (1 1 2 2 1 l l q -q = - + + 由于q1、q2是实数，l1与l2 必同为实数或共轭复数。又因为 li > 1， 因此 0 1 1 > li m 故 q2 ±q1 = ) 1 1 )(1 1 1 (1 1 2 - < l l m m 反之，如果 q2 < 1，且q2 ±q1 < 1。那么从 1 1 1 2 2 = < l l q 可以推出至 少有一个 li > 1，例如，假设 l1 > 1，则根据 ) 1 1 )(1 1 1 (1 1 2 - < l l m m 可推出 ) 0 1 )(1 1 (1 1 2 > l l m m ，由 0 1 1 1 > l m 可以推出 0 1 1 2 > l m ，从而 l2 > 1。因此， ( ) 1 0 2 q B = -q1B -q2B = 的根在单位圆之外。（平稳域为一三角形）。 二、 AR 模型 1. AR(P)模型本身就是一种逆转形式。 2. 平稳性。 先以 AR(1)( Yt=j 1Yt-1+εt),进行分析。 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com