专题一:ARCH模型的有关专门问题 、ARCH模型的估计检验问题 (一)ARCH模型的估计 估计ARCH模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型 y X l ae +a E1~id(0,1) 假设前q组观测值已知,现利用t=1,2,…,T时的观测值进行估计。记 92,=[y,y…y2,…,ym,x,x2,…,x1,x…,X] 则 91~N(x5,h,) 从而y的条件密度函数为 f(X,21)= (y1-X5) exp 2h 2h1 其中 =ao+a1(y21-x15)2+…+a2(yx-X25)2 6=(ana1…,o,).()=[(x2-x23)2…(-x5),则可表 示为 h,=[:、 需估计的参数向量为ξ和δ,将ξ和δ列入一列,形成模型(1.1.1)的参数列向 量 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
1 专题一：ARCH 模型的有关专门问题 一、 ARCH 模型的估计检验问题 (一）ARCH 模型的估计 估计 ARCH 模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型 t Xt ut y = x + ' (1.1.1) t t t u = h e (1.1.2) 2 2 t 0 1 t 1 q t q h u u = a + a - +L + a - ~ iidN(0,1) t e 假设前 q 组观测值已知，现利用 t=1，2，…，T 时的观测值进行估计。记 [ ] 1 1 0 1 1 1 0 1 , , , , , , , , , , , , , - - + - - + W = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ t t t q X t Xt X X X q y y L y y L y L L 则 ~ ( , ) t t 1 N Xt ht y W - ¢x 从而 t y 的条件密度函数为 þ ý ü î í ì- - ¢ W - = t t t t t t t h y X h f y X 2 ( ) exp 2 1 ( , ) 2 1 x p 其中 2 2 t 0 1 t 1 q t q h u u = a +a - +L+a - 2 2 0 1 1 1 a a ( x ) a ( x ) t t q t q X t q y X y - - - - = + - ¢ +L+ - ¢ 记 ( ) [ ] ¢ = - ¢ - ¢ ¢ = - - - - 2 2 0 1 1 1 d a ,a , ,a , (x ) 1,( x ) , ,( x ) q t t t t q X t q L z y X L y ，则 t h 可表 示为 [ x ] d ¢ = ( ) t t h z 需估计的参数向量为x 和d ，将x 和d 列入一列，形成模型(1.1.1)的参数列向 量： ú û ù ê ë é = d x q PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
对应于观测样本,样本对数似然函数为 L(0)=∑mnf(y;|x,9-:0) T n(h,) (y-X5)2 h 参数向量θ的极大似然估计是使得对数似然函数L()达到极大的向量。求 L(θ)关于θ的一阶微分,并记 oL()hf(yx292=;0) s() 其中 s,(0)=0hf(x,2-0) 1mn1)110(-X/)2(y,-X1)2a 2002h 06 h 可以推出 (V-X)2「-2X,u 0 二;(5) 所以, aInf(,x, u1)/ 二(5) Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
2 对应于观测样本，样本对数似然函数为： å å å = = - = - ¢ = - - - = W T t t t t T t t t t t T t h y X h T L f y X 1 2 1 1 1 ( ) 2 1 ln( ) 2 1 ln(2 ) 2 ( ) ln ( , ; ) x p q q 参数向量q 的极大似然估计是使得对数似然函数 L(q)达到极大的向量q ˆ 。求 L(q ) 关于q 的一阶微分，并记 å å = = - = ¶ ¶ W = ¶ ¶ T t t T t t t t s L f y X 1 1 1 ( ) ( ) ln ( , ; ) q q q q q 其中 q q q ¶ ¶ W = - ln ( , ; ) ( ) t t t 1 t f y X s þ ý ü î í ì ¶ - ¢ ¶ - ¶ ¶ - ¢ - ¶ ¶ = - q x q x q t t t t t t t t h h y X y X h h 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 ln( ) 1 2 1 可以推出， ú û ù ê ë é- = ¶ ¶ - ¢ 0 ( ) 2 2 t t t t y X X u q x ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = ¶ ¶ å= - - ( ) 2 1 x a q t q j t j t j t j z h u X 所以， q q q ¶ ¶ W = - ln ( , ; ) ( ) t t t 1 t f y X s ú û ù ê ë é + ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - = å= - - 0 ( ) / ( ) 2 2 ( ) 2 1 2 t t t t q j j t j t j t t t X u h z u X h u h x a 令 å= = ¶ ¶ T t t s L 1 ( ) ( ) q q q =0 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
解此方程,可以得到θ的极大似然估计θ。此方程可由数值计算方法求解,在实 际应用中,可借助现成软件进行计算 前面我们讨论了正态ARCH模型的估计问题。在实践中,金融时间序列的无 条件分布往往比正态分布具有更厚的尾部。为了更精确地描述尾部特征,我们可 以假定回归模型的扰动项服从t分布,t分布的密度函数为 其中,I()为F函数,c为比例参数,k是t分布的自由度,为一正数。当k大 于2时,u1的方差为: Var(u,) 为了反映ARCH效应,令比例参数c为: 这样,u的条件方差为h,密度函数可改写为 f(E1)= √r((k=2(-2) 其中 ao+a1l-1+…+cal2 a +a 为了估计模型参数,类似于正态情形, 样本对数似然函数为: L(0)=∑mf(y|X1,921;0) k+1 ∑mh) k+1 ()k-2) h(k-2) 需要估计的参数为k、5和δ,他们的极大似然估计可以类似于前面的方法得 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
3 解此方程，可以得到q 的极大似然估计q ˆ 。此方程可由数值计算方法求解，在实 际应用中，可借助现成软件进行计算。 前面我们讨论了正态 ARCH 模型的估计问题。在实践中，金融时间序列的无 条件分布往往比正态分布具有更厚的尾部。为了更精确地描述尾部特征，我们可 以假定回归模型的扰动项服从 t 分布，t 分布的密度函数为： 2 1 2 2 1 1 ) 2 ( 2 1 ( ) + - - ú û ù ê ë é + G ú û ù ê ë é + G = k t t t t c k u c k k k f p e 其中，G(×)为G函数，ct为比例参数，k 是 t 分布的自由度，为一正数。当 k 大 于 2 时，ut的方差为： 2 ( ) - = k k Var u c t t 为了反映 ARCH 效应，令比例参数 ct为： k k c h t t - 2 = × 这样，ut的条件方差为 ht，密度函数可改写为： 2 1 2 ( 2) 1 ) ( 2) 2 ( 2 1 ( ) + - ú û ù ê ë é - + G - ú û ù ê ë é + G = k t t t t h k u k h k k f p e 其中 2 2 t 0 1 t 1 q t q h u u = a +a - +L+a - 2 2 0 1 1 1 a a ( x ) a ( x ) t t q t q X t q y X y - - - - = + - ¢ +L+ - ¢ 为了估计模型参数，类似于正态情形， 样本对数似然函数为： å å å = = - = ú û ù ê ë é - - ¢ + + - - ï ï þ ï ï ý ü ï ï î ï ï í ì G - ú û ù ê ë é + G = = W T t t t t T t t t t t T t h k k y X h k k k T L f y X 1 2 1 1 1 ( 2) ( ) ln 1 2 1 ln( ) 2 1 ) ( 2) 2 ( 2 1 ln ( ) ln ( , ; ) x p q q 需要估计的参数为 k、x 和d ，他们的极大似然估计可以类似于前面的方法得 到。 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
(二)ARCH模型的检验 检验ARCH效应的常用方法是拉格朗日乘数检验。在此,我们先介绍拉格朗 日乘数检验法的基本思想,然后介绍检验ARCH效应的具体方法。 1、拉格朗日乘数检验法的基本思想 在统计分析中,对参数进行假设检验时,构造检验统计量的方法通常有三 种:一种是以参数估计的渐进正态性为基础的Wold检验法(W检验),例如,常 见的t检验、F检验等就属于Wold检验法的特例;另一种是似然比检验法(LR 检验):第三种检验方法就是拉格朗日乘数检验法(LM检验)。 拉格朗日乘数检验法将零假设看成一个约束条件,通过对有约束的极大似 然函数的一阶偏导数进行检验,以达到对参数假设作出判断的目的。其基本思想 是 (1)首先考察在无约束条件下,模型参数极大似然估计的一阶条件。 设θ=(θ1,O2…θA)是模型的参数向量,x1,x2…,xn是样本,对应于观测样 本的对数似然函数为nL(0)。如果6=(01,02…,0,)是0=(0,02…0,)y的无约 束极大似然估计,则必有 aIn L(0) =0,j=1,2,…,k (2)考察在有约束的条件下,模型参数极大似然估计的一阶条件 设关于θ的假设检验问题是: Ho:h(O)=0,(=1,2,…,P,P<k) 则在此p个约束条件下,有约束的对数似然函数为 F(O,A,2…,)=加L()+∑h1(0) 如果θ=(01,02,…,04)是0=(01,02,…04)的有约束极大似然估计。则必有 aF aInL p, ah,(0) 0Gj=1,…k) aF O=h,(0)=0(i=1…p) Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
4 (二）ARCH 模型的检验 检验 ARCH 效应的常用方法是拉格朗日乘数检验。在此，我们先介绍拉格朗 日乘数检验法的基本思想，然后介绍检验 ARCH 效应的具体方法。 1、拉格朗日乘数检验法的基本思想 在统计分析中，对参数进行假设检验时，构造检验统计量的方法通常有三 种：一种是以参数估计的渐进正态性为基础的 Wold 检验法（W 检验），例如，常 见的 t 检验、F 检验等就属于 Wold 检验法的特例；另一种是似然比检验法（LR 检验）；第三种检验方法就是拉格朗日乘数检验法（LM 检验）。 拉格朗日乘数检验法将零假设看成一个约束条件，通过对有约束的极大似 然函数的一阶偏导数进行检验，以达到对参数假设作出判断的目的。其基本思想 是： （1） 首先考察在无约束条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。 设 ( , , , ) 1 2 = ¢ q q q L qk 是模型的参数向量， n x , x , , x 1 2 L 是样本，对应于观测样 本的对数似然函数为ln L(q )。如果 ) ˆ , , ˆ , ˆ ( ˆ 1 2 = ¢ q q q L qk 是 ( , , , ) 1 2 = ¢ q q q L qk 的无约 束极大似然估计，则必有 j k L j 0, 1,2, , ˆ ) ˆ ln ( = = L ¶ ¶ q q （2） 考察在有约束的条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。 设关于q 的假设检验问题是： : ( ) 0, ( 1,2, , , ) 0 H h i p p k i q = = L < 则在此 p 个约束条件下，有约束的对数似然函数为 å= = + p i p i i F L h 1 1 2 (q , l ,l ,L,l ) ln (q ) l (q ) 如果 ) ~ , , ~ , ~ ( ~ 1 2 = ¢ q q q L qk 是 ( , , , ) 1 2 = ¢ q q q L qk 的有约束极大似然估计。则必有 ( ) 0 ( 1, , ) ~ 0 ( 1, , ) ( ) ~ ln ~ 1 h i p F j k F L h i i p i j i i j j L L = = = ¶ ¶ = = ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶ ¶ å= q l q q l q q PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
如果约束条件本身就成立,则施加约束条件下6的极大似然估计0,应与无约束 条件下O的极大似然估计6非常接近,m应近似为零。检验原假设的拉格朗 日乘数统计量为: LM=onL ) 其中m是以m为元素组成的列向量,6=(0,0,.y是 O=(0,02,…04)的有约束极大似然估计,I(0)为信息矩阵,它等于: a- In Le (Hendry P462-464) 660 可以证明,在约束条件成立的条件下,LM近似服从x2(p)( Hendry598)。p为 原假设中关于参数的约束条件个数。如果LM太大,则拒绝原假设。 2、ARCH效应的拉格朗日乘数检验 随机扰动项u,是否服从ARCH过程,集中体现在条件异方差h2的系数上,如 果在h中,a1=a2=…=a4=0,那么h=ao为一常数,随机扰动项u为一白噪 声序列;如果a1,a2,…,a不全为零,则随机扰动项u1具有ARCH效应。因此,检 验随机扰动项u,是否具有ARCH效应,就转化为检验假设 Engle(1982)针对ARCH过程,导出了检验ARCH效应的拉格朗日乘子检验法。 以θ的估计值θ代入nL(O)的一阶和二阶偏导。并记h、、=(0)是 h、u1、,(O)在原假设成立时的值,则有 九=a=1∑n,2=,=()= E()…(J Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
5 如果约束条件本身就成立，则施加约束条件下q 的极大似然估计q ~ ，应与无约束 条件下q 的极大似然估计q ˆ非常接近， j L q ~ ln ¶ ¶ 应近似为零。检验原假设的拉格朗 日乘数统计量为： ~ ] ln )] [ ~ ~ ] [ ( ln [ 1 q q q ¶ ¶ ¢ ¶ ¶ = - L I L LM 其 中 q ~ ln ¶ ¶ L 是 以 j L q ~ ln ¶ ¶ 为 元 素 组 成 的 列 向 量 ， ) ~ , , ~ , ~ ( ~ 1 2 = ¢ q q q L qk 是 ( , , , ) 1 2 = ¢ q q q L qk 的有约束极大似然估计， ) ~ I(q 为信息矩阵，它等于： þ ý ü î í ì ¶ ¶ ¢ ¶ = - q q q q 1 ln ( ) ) ~ ( 2 L E T I （HendryP462－464） 可以证明，在约束条件成立的条件下，LM 近似服从 ( ) 2 c p （HendryP598）。p 为 原假设中关于参数的约束条件个数。如果 LM 太大，则拒绝原假设。 2、ARCH 效应的拉格朗日乘数检验 随机扰动项ut 是否服从 ARCH 过程，集中体现在条件异方差ht 的系数上，如 果在 t h 中， 0 a1 = a2 = L =aq = ，那么 t h = a0 为一常数，随机扰动项 t u 为一白噪 声序列；如果a a aq , , , 1 2 L 不全为零，则随机扰动项ut 具有 ARCH 效应。因此，检 验 随 机 扰 动 项 ut 是 否 具 有 ARCH 效 应 ， 就 转 化 为 检 验 假 设 H0 :a1 =a2 = L = aq = 0 。 Engle(1982)针对 ARCH 过程，导出了检验 ARCH 效应的拉格朗日乘子检验法。 以 q 的估计值q ~ 代入 ln L(q ) 的一阶和二阶偏导。并记 ) ~ ˆ ( 0 0 h0、ut 、zt q 是 (q ) t t t h 、u 、z 在原假设成立时的值，则有： ( ) ¢ = = = = - - = å 2 2 1 0 1 2 0 0 0 ) 1 ˆ ˆ ~ ˆ ˆ ˆ , ( 1 ˆ t t t t q T t t t u u u z u u T h a ， x ， ，L， 记 [ ] ¢ = ) ~ ), , ( ~ ), ( ~ ( 0 0 2 0 1 0 x x x T Z z z L z PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com