将X()乘上√N,再写成如下形式: 由前述中心极限定理,有 另一方面,对于[0,1]上的任意实数r,有 m √r N→∞ 因此,√NX()有如下极限分布: NX()=∑6,4N(,a7) (6.2.8) 对照(6.2.3)式,有B(r)=oW(r)~N(0,ar) 这表明,NX()的极限分布与一般维纳过程B()=o()的分布 是一致的。将上述结论整理如下,就得到泛函中心极限定理
将 X (r)乘 上 N ，再写成如下形式： ( ) = = r Nr t r r N t N N N N N X r 1 1 1 1 由前述中心极限定理，有 ( ) 2 1 0, 1 N N L N t t r r ⎯→ = 另一方面，对于[ 0，1 ]上的任意实数 r， 有 r N rN N N N r N = = → → [ ] lim lim 因此， N X (r)有如下极限分布： ( ) (0, ) 1 2 1 N r N N X r L N t r = ⎯→ (6.2.8) 对 照(6.2.3)式，有 ( ) ( ) ~ (0, ) 2 B r = W r N r 这表明， N X (r)的极限分布与一般维纳过程 B(t) = W (t)的分布 是一致的。将上述结论整理如下，就得到泛函中心极限定理
泛函中心极限定理: 设序列{a}:E1,2 独立同分布,且满足 E(E,)=0,D(E,)=a2<∝ =1,2 r为闭区间[0,1]上的任一实数,给定样本s12…,N,取其 前N=N项构造统计量: 那么,当N→∞时,统计量√NX()有如下极限: WG)=1 (r=oW(r (6.2.9) 在(6.2.9)式中令r=1,有 E1->oW(1)~N(0,a2) (6.2.10)
泛函中心极限定理： 设序列 t： 1 , 2 ,, t ,独立同分布，且满足 E( t ) = 0, D( t ) = 2 , t = 1,2, r 为闭区间[ 0，1 ]上的任一实数，给定样本 N , , , 1 2 ，取其 前 N [rN] r = 项构造统计量： = Nr t N X r 1 1 ( ) 那么，当 N → 时，统计量 N X (r)有如下极限： ( ) ( ) ( ) 1 1 B r W r N N X r L N t r = ⎯→ = (6.2.9) 在(6.2.9)式中令 r=1， 有 ( ) (1) ~ (0, ) 1 1 2 1 W N N N X L N = t ⎯→ (6.2.1 0)
3、有关随机游动的极限分布 设序列{y遵从随机游动过程: y=y1-1+E (6.1.4) 其中,{,}独立同分布,且E()=0,D()=E(2)=a2<∞,y=0。则以下 极限成立 (1) ∑-o形(;(2)N∑y→hw(1)-1 (3)N∑H4oWOb;(4)N∑,-o()-可WO; (5)N ty,-l-o rW(r)dr N-22ynow2(r)d 证明
3、有关随机游动的极限分布 设序列 yt遵从随机游动过程： t t t y = y + −1 （6.1.4） 其中， { }t 独立同分布，且 = = = 2 2 E( t ) 0, D( t ) E( t ) ， 0 y = 0。则以下 极限成立： （1） (1) 1 1 2 N W N L t ⎯→ − ； （2） σ [W (1) 1] 2 1 N y ε 2 2 N 1 L t 1 t 1 − ⎯→ − − ； （3） − ⎯→ − 1 0 1 1 3 2 N y W (r)dr N L t ； （4） ⎯→ − − 1 0 1 3 2 N t W(1) W(r)dr N L t ； （5） − ⎯→ − 1 0 1 1 5 2 N ty rW (r)dr N L t ； （6） − ⎯→ − 1 0 2 2 1 2 1 2 N y W (r)dr N L t 。 证明
有关单位根过程的极限分布 1、一般形式的泛函中心极限定理 设序列{}:u1,u2…,u1…为一平稳过程,它有无穷阶MA表示形式: E+51+02512+…=0(B)1=∑F (6.2.12) 其系数如满足条件: (6.2.13) 2}独立同分布,且满足:E(E1)=0,D(E)=0<O r为闭区间[0,1]上的任一实数,记N=N,构造如下统计量 X(r) (6.2.14 那么,当N→∞时,统计量√NX(r)有如下极限: (6.2.15)
三、有关单位根过程的极限分布 1、一般形式的泛函中心极限定理 设序列 ut： u1 ,u2 ,,ut ,为一平稳过程，它有无穷阶 M A 表示形式： = = + − + − + = = − 0 1 1 2 2 ( ) j ut t t t B t j t j (6.2.1 2) 其系数 j满足条件： j=0 j j (6.2.1 3) t独立同分布，且满足： E( t ) = 0, D( t ) = 2 , t = 1,2, r 为闭区间[ 0，1 ]上的任一实数，记 N [rN] r = ，构造如下统计量： = Nr t u N X r 1 1 ( ) (6.2.1 4) 那么，当 N → 时，统计量 N X (r)有如下极限： ( ) (1) ( ) 1 1 u W r N N X r L N t r = ⎯→ (6.2.1 5)