第3节 Dickey-Fu1ler单位根检验(DF检验) 前面两节已为检验单位根做了理论准备 下面我们讨论 Dickey- Fuller建立的单位根检验法。 任何一个序列都有其自身的真实生成过程。 Dickey- Fuller假设 数据序列是由下列两种模型之一产生 (1)y2=pa1+En, (6.3.1) (2)y=a+pyu1+E1; (6.3.2) 其中,ε,~id(0,σ3)。然后分为如下四种情形建立估计模型,并在其中进行单位 根检验 情形一:假设数据由(真实过程)(6.3.1)产生,在回归模型(6.3.1)中检 验假设 H 情形二:假设数据由(真实过程)(6.3.1)产生,在回归模型(6.3.2)中检 验假设: Ho: p=l a=0 情形三:假设数据由(真实过程)(6.3.2)产生,在其中检验假设: 情形四:假设数据由(真实过程)(6.3.2)产生,在回归模型 a+py1++E1中检验假设 Ho:p=l,δ=0 对于上述各种情形下的回归模型,可以使用OLS法得到参数估计量和相应 的t统计量。 但是, Dickey与 Fuller的研究发现,在原假设成立的条件下,相应的t统 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
1 第3节 Dickey—Fuller 单位根检验（DF 检验） 前面两 节已为 检验单 位根做了理论准备。 下面我们讨论 Dickey— Fuller 建 立的单位根检验法。 任何一个序列 都有其 自身的真实生成过程。 Dickey—Fuller 假设 数据序列是由 下列两 种模型 之一产生： （1） t t t y = ry + e -1 ， (6.3.1) （2） t t t y = a + ry + e -1 ； (6.3.2) 其中， ~ (0, ) 2 e t iid s 。然后分为如下四种情形建立估计模型，并在其中进行单位 根检验： 情形一：假设数据由（真实过程）(6.3.1)产生，在回归模型(6.3.1)中检 验假设： : 1 H0 r = 情形二：假设数据由（真实过程）(6.3.1)产生，在回归模型(6.3.2)中检 验假设： : 1; 0 H0 r = a = 情形三：假设数据由（真实过程）(6.3.2)产生，在其中检验假设： : 1; H0 r = 情 形 四 ： 假 设 数 据 由（真实过 程 ） (6.3.2) 产 生 ， 在 回 归模型 t t t y = a + ry + dt + e -1 中检验假设： : 1; 0 H0 r = d = 对于上述各种情形下的回归模型，可以使用 OLS 法得到参数估计量和相应 的 t 统计量。 但是，Dickey 与 Fuller 的研究发现，在原假设成立的条件下，相应的 t 统 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
计量不再服从渐近正态分布,从而临界值与拒绝域发生变化。 具体分析如下 情形一的DF检验法 1、检验方法 回归模型(6.3.1)系数ρ的OLS估计为: 构造统计量: (6.3.3) 其中s2为模型的剩余方差。 在Ho:p=1成立的条件下,t统计量为 ∑y(y,-y) ∑∑ ViEr ∑N=∑1 在Hρ=l成立的条件下,模型(6.3.1)为随机游动过程,有关随机游动的极限 定理成立,因此, y N2∑-2-→2r2 其中W(r)为维纳过程。又因为s2为σ2的一致估计,根据连续影射定理,t统计 量具有如下极限: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
2 计量不再服从渐近正态分布，从而临界值与拒绝域发生变化。 具体分析如下： 一、 情形一的 DF 检验法 1、检验方法 回归模型(6.3.1)系数r 的 OLS 估计为： å å - - = 2 1 1 ˆ t t t y y y r 构造统计量： [ ] 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ å - - = - = t s y t r r s r r r (6.3.3) 其中 2 s 为模型的剩余方差。 在 : 1 H0 r = 成立的条件下，t 统计量为： [ ] [ ] 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 ˆ ( ) 1 ˆ 1 ˆ ˆ 1 å å å å - - - - - × - = - = - = t t t t t t s y y y y y s y t r s r r å å å å - - - - - - = = 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 [ ] [ ] [N y ] [s ] N y y s y t t t t t t e e 在 : 1 H0 r = 成立的条件下，模型(6.3.1)为随机游动过程，有关随机游动的极限 定理成立，因此， {[ (1) 1]} 2 2 2 1 1å - ¾¾® - - N y W L t t s e ( ) å - ¾¾® ò - 1 0 2 2 2 1 2 N y W r dr L t s 其中 W(r)为维纳过程。又因为 2 s 为 2 s 的一致估计，根据连续影射定理，t 统计 量具有如下极限： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
106N∑→20-l (6.3.4) Tw()d 即t统计量依分布收敛于维纳过程的泛函,表明t检验统计量不再服从传统的t 分布,传统的t检验法失效。 上面的极限分布一般称为 Dickey--Fuller分布,对应的检验称为D检验。 由于H()2~x2(1),(6.3.4)式的分母恒正,分子是x2(1)分布与其均值之差, 因此上述检验统计量的极限分布是非对称、左偏的。又因Pz2(1)≤1}≡070,所以 检验值大都是负数。 Dickey-Fuller分布是非标准的,因此人们用 Monte carlo方法模拟得到 检验的临界值,并编成D检验临界值表(情形一)供査。 在进行DF检验时,比较t统计量值与DF检验临界值,就可在某个显著性 水平上拒绝或接受原假设。 在实际应用中,可按如下检验步骤进行: (1)根据所观察的数据序列,用OLS法估计不带常数项的一阶自回归模型: 得到回归系数p的OLS估计 (2)提出假设: H 检验用统计量为常规t统计量, p-p 根据(6.3.4)式,在H0:p=1成立的条件下,该统计量的极限分布为 Dickey-Fuller分布。 (3)计算在原假设成立条件下的t统计量值,査DF检验临界值表(情形 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
3 { } { } { ( ) } { ( ) } 2 1 2 1 2 1 1 0 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 ˆ 1 1 ˆ ˆ 1 å ò å - = ¾¾® - = - - - - W r dr W N Y S N Y t L t t t e s r r (6.3.4) 即 t 统计量依分布收敛于维纳过程的泛函，表明 t 检验统计量不再服从传统的 t 分布，传统的 t 检验法失效。 上面的极限分布一般称为 Dickey—Fuller 分布，对应的检验称为 DF 检验。 由于 (1) ~ (1) 2 2 W c ，(6.3.4)式的分母恒正，分子是 (1) 2 c 分布与其均值之差， 因此上述检验统计量的极限分布是非对称、左偏的。又因 { (1) 1} 0.70 2 P c £ @ ，所以 检验值大都是负数。 Dickey—Fuller 分布是非标准的，因此人们用 Monte Carlo 方法模拟得到 检验的临界值，并编成 DF 检验临界值表（情形一）供查。 在进行 DF 检验时，比较 t 统计量值与 DF 检验临界值，就可在某个显著性 水平上拒绝或接受原假设。 在实际应用中，可按如下检验步骤进行： (1) 根据所观察的数据序列，用 OLS 法估计不带常数项的一阶自回归模型： t t t y = ry + e -1 得到回归系数r 的 OLS 估计 å å - - = 2 1 1 ˆ t t t y y y r (2) 提出假设： : 1 H0 r = 检验用统计量为常规 t 统计量， [ ] 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ å - - = - = t s y t r r s r r r 根据(6.3.4)式，在 H0 : r = 1 成立的条件下，该统计量的极限分布为 Dickey—Fuller 分布。 (3) 计算在原假设成立条件下的 t 统计量值，查 DF 检验临界值表（情形 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
),得临界值,然后将t统计量值与DF检验临界值进行比较: 若t统计量值小于DF检验临界值,则拒绝原假设H:ρ=1,说明序列不存 在单位根 若t统计量值大于或等于DF检验临界值,则接受原假设H:ρ=1,说明序 列存在单位根 需要说明的是,在一般计量经济软件中对回归模型回归系数的检验,原假 设都是回归系数为零。因此,为了能直接使用计算机输出结果,通常将回归模 型(6.3.1)变形为 Ay2=(p-1)y1+E 令ω=p-1,上述模型等价地变成: (6.3.5) 原假设H0:p=1则变为H0:O=0。 实例分析 下面我们利用DF检验进行实例分析。 例6.3.1本章附表1给出了1970—1991年美国3种宏观经济变量的季度 数据序列(摘自(美)古扎拉蒂《计量经济学》中译本P706)。表中的3个序列 分别为:国内生产总值(GDP)、个人可支配收入(PDI)、个人消费支出(PCE)。 图5-3-1是三个序列的图形。 5000 70727476788082B486889 ⊙DP--cE=PD 图5-3-1美国GDP、PDI、PCE季度数据(1970-1991) 对每一个序列,采用模型(6.3.5)进行估计,回归结果如下 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
4 一），得临界值，然后将 t 统计量值与 DF 检验临界值进行比较： 若 t 统计量值小于 DF 检验临界值，则拒绝原假设 H0 : r = 1，说明序列不存 在单位根； 若 t 统计量值大于或等于 DF 检验临界值，则接受原假设 : 1 H0 r = ，说明序 列存在单位根； 需要说明的是，在一般计量经济软件中对回归模型回归系数的检验，原假 设都是回归系数为零。因此，为了能直接使用计算机输出结果，通常将回归模 型(6.3.1)变形为： t t t Dy = r - y + e -1 ( 1) 令w = r -1，上述模型等价地变成： t t t Dy = wy + e -1 (6.3.5) 原假设 : 1 H0 r = 则变为 : 0 H0 w = 。 1、 实例分析 下面我们利用 DF 检验进行实例分析。 例 6.3.1 本章附表 1 给出了 1970—1991 年美国 3 种宏观经济变量的季度 数据序列（摘自（美）古扎拉蒂《计量经济学》中译本 P706）。表中的 3 个序列 分别为：国内生产总值（GDP）、个人可支配收入（PDI）、个人消费支出（PCE）。 图 5-3-1 是三个序列的图形。 图 5-3-1 美国 GDP 、PDI 、PCE 季度数据（1970—1991） 对每一个序列，采用模型(6.3.5)进行估计，回归结果如下： 1000 2000 3000 4000 5000 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 GDP PCE PDI PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
△GDP1=0.005765GDP=1 t=(5.798077) DW=1.340574 (2) PCE: △PCE:=0.006446PCE t=(8.303944) DW=1.586258 △PDI1=0.006115PDl1 t=(5.705903) DW=2.054157 查DF检验临界值表(情形一),在显著性水平为5%下,DF临界值为-1.95。由 于三个回归方程回归系数的t统计量值都大于DF检验临界值,因此不能拒绝原 假设H0:0=0(即H0:p=1),说明所考察的三个序列都存在单位根,它们是非 平稳序列。 接下来的问题是,三个序列的一阶差分序列是否为平稳序列,即三个序列是 否为一阶单整I(1)序列?为此,需要对序列△GDP、△PCE1、APD进行单位根检 验。记 AGDP =X. APCE=Y. APDL=Z 采用对应于模型(6.3.5)的形式进行回归,回归结果如下: (1)序列△GDP=X t=(-5.181149) DW=2.192062 (2)序列△PCE1=F: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
5 （1）GDP： 1.340574 (5.798077) 0.005765 1 = = D = - Ù DW t GDP GDPt t （2）PCE： 1.586258 (8.303944) 0.006446 1 = = D = - Ù DW t PCE PCEt t （3）PDI ： 2.054157 (5.705903) 0.006115 1 = = D = - Ù DW t PDI PDIt t 查 DF 检验临界值表（情形一），在显著性水平为 5%下，DF 临界值为-1.95。由 于三个回归方程回归系数的 t 统计量值都大于 DF 检验临界值，因此不能拒绝原 假设 : 0 H0 w = （即 : 1 H0 r = ），说明所考察的三个序列都存在单位根，它们是非 平稳序列。 接下来的问题是，三个序列的一阶差分序列是否为平稳序列，即三个序列是 否为一阶单整 I（1）序列？为此，需要对序列DGDPt、DPCEt、DPDIt 进行单位根检 验。记 DGDPt = Xt DPCEt = Yt DPDIt = Zt , , 采用对应于模型(6.3.5)的形式进行回归，回归结果如下： （1）序列DGDPt = Xt： 2.192062 ( 5.181149) 0.4796201 1 = = - D = - - Ù DW t X Xt t （2）序列DPCEt = Yt ： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com